Encontre a solução geral das seguintes equações:
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma EDO linear de primeira ordem não homogênea: y′+\frac{1}{x},y-\sin x=0. Isso é equivalente a y′+\frac{1}{x}y=\sin x. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Para uma EDO da forma y′+P(x)y=Q(x), o fator integrante é
. Aqui temos P(x)=1/x, então
Passo 3
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Passo 4
O lado esquerdo é a derivada do produto x y, pois
Logo a EDO vira
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a x, temos
Passo 6
Para calcular
, usamos integração por partes: escolhemos u=x, dv=\sin x,dx, então du=dx e v=-\cos x. Assim
Passo 7
Substituindo na solução geral:
Resposta
A solução geral é
.