Encontre a solução geral das seguintes equações:
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Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO linear de primeira ordem não homogênea: y′+\frac{1}{x},y-\sin x=0. Isso é equivalente a y′+\frac{1}{x}y=\sin x. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para uma EDO da forma y′+P(x)y=Q(x), o fator integrante é mu(x)=expl(integral P(x),dxr). Aqui temos P(x)=1/x, então
mu(x)=e^integral1xdx=e^ln|x|=x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=x, obtemos
x,y+y=xsin x

Passo 4

O lado esquerdo é a derivada do produto x y, pois
ddx(x,y)=x,y+y
Logo a EDO vira
ddx(x,y)=xsin x

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x, temos
x,y=integral xsin x,dx+C

Passo 6

Para calcular integral xsin x,dx, usamos integração por partes: escolhemos u=x, dv=\sin x,dx, então du=dx e v=-\cos x. Assim
integral xsin x,dx=-xcos x-integral(-cos x),dx=-xcos x+sin x

Passo 7

Substituindo na solução geral:
x,y=-xcos x+sin x+CLongrightarrow y=-cos x+sin xx+Cx

Resposta

A solução geral é y(x)=-cos x+dfracsin xx+dfracCx.

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