Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais abaixo:
y^prime prime+y=cosec(t);

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' + y = csc t
Isto é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a solução geral da homogênea mais um particular obtido por variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + y = 0
o polinômio característico é r^2 + 1=0, com raízes r=pm i. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp=u1(t)cos t + u2(t)sin t usamos variação de parâmetros. As fórmulas são
u1'(t) = -y2(t),g(t)W(t), u2'(t) = y1(t),g(t)W(t),
onde y1=cos t, y2=sin t, g(t)=csc t e o wronskiano
W(t)= cos t & sin t -sin t & cos t =cos^2t+sin^2t=1

Passo 4

Calculamos então
u1'(t) = -sin tcdotcsc t = -1, u2'(t) = cos tcdotcsc t = cot t
Integrando,
u1(t) = -t, u2(t) = integral cot t,dt = lnl|sin tr|
Desprezamos constantes de integração pois elas entram em yh.

Passo 5

A solução particular fica
yp(t) = u1(t)cos t + u2(t)sin t = -tcos t + sin t;lnl|sin tr|
Logo a solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos t + C2sin t - tcos t + sin t;lnl|sin tr|

Resposta

y(t) = C1cos t + C2sin t ;-; tcos t ;+; sin t ,ln!l|sin tr|

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