Problema 3.7. Mostre que os múltiplos inteiros de um elemento
possuem as seguintes propriedades:
(i) 0 é múltiplo de
.
(ii) Se
é um múltiplo de
, então
é múltiplo de
.
(iii) Um múltiplo de um múltiplo de
é um múltiplo de
.
(iv) Se
e
são múltiplos de
, então
e
são também múltiplos de
.
(v) Se
e
são múltiplos de
, então
é múltiplo de
, quaisquer que sejam os inteiros e e
(note que (iv) é um caso particular da presente propriedade).
(vi) Se
ou
é múltiplo de
e
é múltiplo de
, então
é múltiplo de
.
(i) 0 é múltiplo de
(ii) Se
(iii) Um múltiplo de um múltiplo de
(iv) Se
(v) Se
(vi) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar várias propriedades dos múltiplos inteiros de um dado elemento
. O conteúdo aqui é a definição de múltiplo em
: dizemos que um inteiro
é múltiplo de
se existe um inteiro
tal que
Vamos usar essa definição repetidamente.
Passo 2
Provo que
é múltiplo de
. Basta notar que
e
é inteiro, logo
se encaixa na definição de múltiplo de
. Assim, a propriedade (i) está feita.
Passo 3
Suponha que
seja múltiplo de
. Então existe um inteiro
tal que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
e
é inteiro. Isso mostra a propriedade (ii): se
é múltiplo de
, então
também é.
Passo 4
Agora (iii): seja
múltiplo de
, isto é,
. Se
é múltiplo de
, então existe inteiro
tal que
e
é inteiro. Logo
é múltiplo de
.
Passo 5
Propriedade (iv): suponha
e
. Então
e tanto
quanto
são inteiros. Portanto
e
são múltiplos de
.
Passo 6
Propriedade (v) é um caso mais geral de (iv). Seja
quaisquer inteiros e
,
. Então
com
. Logo
é múltiplo de
. Note que pegando
ou
recuperamos (iv).
Passo 7
Por fim, (vi): suponha que
é múltiplo de
(logo
) e que
é múltiplo de
, digamos
Então
com
inteiro, logo
é múltiplo de
. Se em vez de
for
, basta escrever
e concluímos o mesmo.
Resposta
As propriedades (i) a (vi) seguem diretamente da definição de múltiplo em
e das propriedades de adição e multiplicação entre inteiros.