Problema 3.7. Mostre que os múltiplos inteiros de um elemento a possuem as seguintes propriedades:
(i) 0 é múltiplo de a.
(ii) Se m é um múltiplo de a, então -m é múltiplo de a.
(iii) Um múltiplo de um múltiplo de a é um múltiplo de a.
(iv) Se m e m^prime são múltiplos de a, então m+m^prime e m-m^prime são também múltiplos de a.
(v) Se m e m^prime são múltiplos de a, então e times m+f times m^prime é múltiplo de a, quaisquer que sejam os inteiros e e f (note que (iv) é um caso particular da presente propriedade).
(vi) Se m+m^prime ou m-m^prime é múltiplo de a e m é múltiplo de a, então m^prime é múltiplo de a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar várias propriedades dos múltiplos inteiros de um dado elemento a. O conteúdo aqui é a definição de múltiplo em Z: dizemos que um inteiro m é múltiplo de a se existe um inteiro k tal que
m = k,a
Vamos usar essa definição repetidamente.

Passo 2

Provo que 0 é múltiplo de a. Basta notar que
0 = 0 times a,
e 0 é inteiro, logo 0 se encaixa na definição de múltiplo de a. Assim, a propriedade (i) está feita.

Passo 3

Suponha que m seja múltiplo de a. Então existe um inteiro k tal que
m = k,a
Multiplicando ambos os lados por -1, obtemos
-m = (-k),a,
e -k é inteiro. Isso mostra a propriedade (ii): se m é múltiplo de a, então -m também é.

Passo 4

Agora (iii): seja m múltiplo de a, isto é, m = k,a. Se m' é múltiplo de m, então existe inteiro ell tal que
m' = ell,m = ell,(k,a) = (ell k),a,
e ell k é inteiro. Logo m' é múltiplo de a.

Passo 5

Propriedade (iv): suponha m = k,a e m' = k',a. Então
m + m' = (k + k'),a, m - m' = (k - k'),a,
e tanto k+k' quanto k-k' são inteiros. Portanto m+m' e m-m' são múltiplos de a.

Passo 6

Propriedade (v) é um caso mais geral de (iv). Seja e,f quaisquer inteiros e m = k,a, m' = k',a. Então
e,m + f,m' = e,(k,a) + f,(k',a) = (e,k + f,k'),a,
com e,k + f,k'inZ. Logo e,m + f,m' é múltiplo de a. Note que pegando e=f=1 ou e=1,f=-1 recuperamos (iv).

Passo 7

Por fim, (vi): suponha que m é múltiplo de a (logo m = k,a) e que m + m' é múltiplo de a, digamos
m + m' = ell,a
Então
m' = (m + m') - m = ell,a - k,a = (ell - k),a,
com ell-k inteiro, logo m' é múltiplo de a. Se em vez de m+m' for m-m', basta escrever
m - m' = ell,a Longrightarrow m' = m - ell,a = (k - ell),a,
e concluímos o mesmo.

Resposta

As propriedades (i) a (vi) seguem diretamente da definição de múltiplo em Z e das propriedades de adição e multiplicação entre inteiros.

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