Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
\left(x+\frac{2}{y}\right) y^{\prime}+y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\bigl(x+\tfrac{2}{y}\bigr)\,y' + y = 0.
O conteúdo envolvido é reconhecer uma derivada total ou fator integrante que torne o lado esquerdo a derivada de uma função de x e y.

Passo 2

Observamos que, se definirmos
F(x,y) = x\,y + 2\ln y,
então
\frac{d}{dx}F(x,y) = \frac{d}{dx}(x\,y) + \frac{d}{dx}\bigl(2\ln y\bigr) = \bigl(x\,y' + y\bigr) + 2\,\frac{y'}{y} = \bigl(x + \tfrac{2}{y}\bigr)y' + y.
Logo, o lado esquerdo da equação dada é exatamente \frac{d}{dx}F(x,y).

Passo 3

Como a equação fica
\frac{d}{dx}F(x,y)=0,
integramos em relação a x e obtemos
F(x,y)=C,
isto é,
x\,y + 2\ln y = C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
x\,y + 2\ln y = C,
com C constante.

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