Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem y′(x) + 3x²
y(x) = 6x². O conteúdo aqui é equações lineares de 1ª ordem, e vamos precisar usar o fator integrante para resolver.
y(x) = 6x². O conteúdo aqui é equações lineares de 1ª ordem, e vamos precisar usar o fator integrante para resolver.
Passo 2
Calcular o fator integrante μ(x). Em uma equação da forma y′ + P(x)y = Q(x), o fator integrante é μ(x)=e^{∫P(x)dx}. Aqui P(x)=3x², então:
Passo 3
Multiplicar a equação original por μ(x) para reescrever o lado esquerdo como derivada de produto. Temos:
O lado esquerdo é
Assim:
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a x. Primeiro escrevemos:
Fazendo a substituição u=x^3 ⇒ du=3x^2dx, logo 6x^2dx=2du. Então:
Logo:
Dividindo por e{x3} isolamos y.
Passo 5
Isolar y para obter a solução geral:
onde C é a constante de integração.
Resposta
y(x)=2+Ce{-x3}