Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem
y^prime(x)+3 x^2 y(x)=6 x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem y′(x) + 3x²
y(x) = 6x². O conteúdo aqui é equações lineares de 1ª ordem, e vamos precisar usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Calcular o fator integrante μ(x). Em uma equação da forma y′ + P(x)y = Q(x), o fator integrante é μ(x)=e^{∫P(x)dx}. Aqui P(x)=3x², então: mu(x)=e^integral3x^2,dx=e^x^3

Passo 3

Multiplicar a equação original por μ(x) para reescrever o lado esquerdo como derivada de produto. Temos: e^x^3y' +3x^2e^x^3y =6x^2e^x^3 O lado esquerdo é ddxl(e^x^3yr) Assim: ddxl(e^x^3yr)=6x^2e^x^3

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x. Primeiro escrevemos: e^x^3y=integral6x^2e^x^3,dx + C Fazendo a substituição u=x^3 ⇒ du=3x^2dx, logo 6x^2dx=2du. Então: integral6x^2e^x^3,dx=2integral e^u,du=2e^u=2e^x^3 Logo: e^x^3y=2e^x^3+C Dividindo por e{x3} isolamos y.

Passo 5

Isolar y para obter a solução geral: y(x)=2 + Ce^-x^3, onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x)=2+Ce{-x3}

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