As funções a seguir são contínuas ou descontínuas? Em caso de descontinuidade, diga se são removíveis ou essenciais e redefina a função, quando for possível, de forma a ter uma função contínua.
.
Passo 1
A função é definida por partes:
para
e
para
. O tema aqui é continuidade de funções por partes, usando conceito de limite e classificação de descontinuidade.
Passo 2
Sabemos que polinômios são contínuos em toda a reta, então não há nenhuma descontinuidade dentro de
nem em
. O ponto potencial de descontinuidade é
. Lembrando que uma função
é contínua em
se
. Se o limite existe mas é diferente de
temos descontinuidade removível. Se os limites laterais são diferentes, a descontinuidade é essencial.
Passo 3
Vamos calcular os limites laterais em
:
Como
, o limite
não existe.
Passo 4
Quando os limites laterais não coincidem, a descontinuidade é essencial (também chamada de salto). Nesse caso não há como redefinir
para forçar continuidade, pois não existe um único valor que iguale ambos os lados.
Resposta
A função é contínua em todo
e apresenta descontinuidade essencial (descontinuidade por salto) em
; não é possível redefini-la em
para torná-la contínua.