As funções a seguir são contínuas ou descontínuas? Em caso de descontinuidade, diga se são removíveis ou essenciais e redefina a função, quando for possível, de forma a ter uma função contínua.
llx, & x<-2 x^2, & x >=-2.

Passo 1

A função é definida por partes: f(x)=x para x<-2 e f(x)=x^2 para x>=-2. O tema aqui é continuidade de funções por partes, usando conceito de limite e classificação de descontinuidade.

Passo 2

Sabemos que polinômios são contínuos em toda a reta, então não há nenhuma descontinuidade dentro de x<-2 nem em x>-2. O ponto potencial de descontinuidade é x=-2. Lembrando que uma função f é contínua em a se limxto af(x)=f(a). Se o limite existe mas é diferente de f(a) temos descontinuidade removível. Se os limites laterais são diferentes, a descontinuidade é essencial.

Passo 3

Vamos calcular os limites laterais em x=-2:
limxto -2^-f(x)=limxto -2^-x=-2
limxto -2^+f(x)=limxto -2^+x^2=4
Como -2neq4, o limite limxto -2f(x) não existe.

Passo 4

Quando os limites laterais não coincidem, a descontinuidade é essencial (também chamada de salto). Nesse caso não há como redefinir f(-2) para forçar continuidade, pois não existe um único valor que iguale ambos os lados.

Resposta

A função é contínua em todo xneq -2 e apresenta descontinuidade essencial (descontinuidade por salto) em x=-2; não é possível redefini-la em x=-2 para torná-la contínua.

Exercícios relacionados