Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
com
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação linear de primeira ordem
com a condição
. Vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Para uma equação da forma
, o fator integrante é
Aqui
, então
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Isso transforma o lado esquerdo em derivada do produto
:
Logo, a equação vira
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular
usamos
, de modo que
. Então
Assim,
e isolando
obtemos
Passo 5
Usamos a condição inicial
para achar
:
Passo 6
Substituindo
na solução geral, ficamos com a solução particular
Resposta
A solução do problema de valor inicial é