Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
y^prime(t)+t y(t)=5 t com y(2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação linear de primeira ordem y'(t) + t,y(t) = 5t com a condição y(2)=1. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para uma equação da forma y' + p(t)y = g(t), o fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt
Aqui p(t)=t, então
mu(t) = e^integral t,dt = e^t^2/2

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t). Isso transforma o lado esquerdo em derivada do produto mu(t)y(t):
e^t^2/2y' + t,e^t^2/2y = l(e^t^2/2yr)'
Logo, a equação vira
l(e^t^2/2yr)' = 5t,e^t^2/2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^t^2/2y = integral 5t,e^t^2/2,dt + C
Para calcular integral 5t,e^t^2/2,dt usamos u = t^2/2, de modo que du = t,dt. Então
integral 5t,e^t^2/2,dt = 5integral e^u,du = 5e^u = 5e^t^2/2
Assim,
e^t^2/2y = 5e^t^2/2 + C
e isolando y obtemos
y(t) = 5 + Ce^-t^2/2

Passo 5

Usamos a condição inicial y(2)=1 para achar C:
1 = y(2) = 5 + Ce^-2^2/2 = 5 + Ce^-2 ; Rightarrow; Ce^-2 = -4 ; Rightarrow; C = -4e^2

Passo 6

Substituindo C na solução geral, ficamos com a solução particular
y(t) = 5 - 4e^2 e^-t^2/2 = 5 - 4e^2 - t^2/2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = 5 - 4e^2 - t^2/2

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