Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de 1{ }^{\text {a }} ordem:
y^{\prime}+5 y=x e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de 1^{\text{a}} ordem
y'+5y = x e^{-2x}.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação está na forma y' + P(x)\,y = Q(x), com P(x)=5 e Q(x)=x e^{-2x}.
  • Pede-se a solução geral, ou seja, a família de todas as soluções (contendo uma constante arbitrária).

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática do procedimento que se aplica a esse tipo de equação).
Para uma equação linear de 1^{\text{a}} ordem
y' + P(x)\,y = Q(x),
introduz-se o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}.
Por que isso funciona? Porque ao multiplicar a equação por \mu(x) obtemos
\mu y' + \mu P y.
Mas \mu' = P\mu (isso vem da derivada de e^{\int P}), então o lado esquerdo equivale à derivada do produto:
\mu y' + \mu P y = (\mu y)'.
Assim a equação multiplicada fica (\mu y)' = \mu Q, que é uma forma direta para integrar e encontrar y. Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Calcular o fator integrante para P(x)=5:
\mu(x) = e^{\int 5\,dx} = e^{5x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x) temos
e^{5x} y' + 5 e^{5x} y = x e^{5x} e^{-2x}.
No lado direito combinei as exponenciais:
x e^{5x} e^{-2x} = x e^{3x}.
Pelo argumento do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{5x} y\bigr) = x e^{3x}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{5x} y\bigr)\,dx = \int x e^{3x}\,dx.
O lado esquerdo integra direto para e^{5x} y. No lado direito precisamos calcular a integral
\int x e^{3x}\,dx.
Fazemos integração por partes. Escolhemos u = x e dv = e^{3x}\,dx. Então du = dx e v = \dfrac{1}{3}e^{3x}. Aplicando fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Igualando as duas partes obtemos
e^{5x} y = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C.
Agora isolamos y dividindo por e^{5x}. Lembre que e^{3x}/e^{5x} = e^{-2x}. Assim
y = \frac{1}{3}x e^{-2x} - \frac{1}{9} e^{-2x} + C e^{-5x}.
Podemos fatorar e^{-2x} nas duas primeiras parcelas para simplificar:
y = e^{-2x}\!\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{9}\right) + C e^{-5x} = \frac{3x-1}{9}\,e^{-2x} + C e^{-5x}.
Interpretação: a solução geral é a soma de uma solução particular \displaystyle y_p(x)=\frac{3x-1}{9}e^{-2x} e da solução geral da homogênea \displaystyle y_h(x)=C e^{-5x}, com C constante arbitrária.

Passo 6

Resumo do que foi aprendido (rápido e prático para a prova):
  • Ao ver y' + P y = Q, calcule \mu=e^{\int P}.
  • Multiplique a equação por \mu para obter (\mu y)' = \mu Q.
  • Integre o lado direito; use integração por partes quando aparecer x e^{ax}.
  • Divida por \mu para obter y. Sempre inclua a constante C ao integrar.

Resposta

y(x)=\frac{3x-1}{9}\,e^{-2x} + C e^{-5x}

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