Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de
ordem
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação está na forma
, com e . - Pede-se a solução geral, ou seja, a família de todas as soluções (contendo uma constante arbitrária).
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática do procedimento que se aplica a esse tipo de equação).
Para uma equação linear de ordem
Para uma equação linear de
introduz-se o fator integrante
definido por
Por que isso funciona? Porque ao multiplicar a equação por
obtemos
Mas
(isso vem da derivada de
), então o lado esquerdo equivale à derivada do produto:
Assim a equação multiplicada fica
, que é uma forma direta para integrar e encontrar
. Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
:
Multiplicando a equação original por
temos
No lado direito combinei as exponenciais:
Pelo argumento do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra direto para
. No lado direito precisamos calcular a integral
Fazemos integração por partes. Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando fórmula
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Igualando as duas partes obtemos
Agora isolamos
dividindo por
. Lembre que
. Assim
Podemos fatorar
nas duas primeiras parcelas para simplificar:
Interpretação: a solução geral é a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
, com
constante arbitrária.
Passo 6
Resumo do que foi aprendido (rápido e prático para a prova):
- Ao ver
, calcule . - Multiplique a equação por
para obter . - Integre o lado direito; use integração por partes quando aparecer
. - Divida por
para obter . Sempre inclua a constante ao integrar.