Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de 1{ }^{\text {a }} ordem:
y^{\prime}-y=2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de 1ª ordem
y' - y = 2x + 1.
Informações relevantes que o problema dá:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada primeira aparece: y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • O termo do lado direito é a função conhecida 2x+1.
  • Trata-se de uma equação linear de primeira ordem com coeficientes dependentes de x (aqui, na prática, coeficiente constante).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem:
y' + p(x)\,y = q(x).
Comparando com a equação dada vemos que
p(x) = -1,\qquad q(x)=2x+1.
O significado desses símbolos:
  • p(x) é a função multiplicando y no lado esquerdo;
  • q(x) é a função conhecida (fonte) no lado direito;
  • resolver a equação significa encontrar todas as funções y(x) que satisfazem a relação para todo x do domínio.
Método escolhido e por quê: a técnica padrão e mais didática aqui é o fator integrante (integrating factor). É um método geral para equações lineares de 1ª ordem e funciona bem com p(x) simples (aqui constante). Vou usar esse método passo a passo; no final faço uma checagem rápida com coeficientes indeterminados (que também funciona quando o lado direito é polinômio).

Passo 3

Construir o fator integrante \mu(x). A definição é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Aqui p(x)=-1, logo
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Interpretação: multiplicando a equação original por \mu(x) transforma o lado esquerdo numa derivada total do produto \mu(x)\,y(x).

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(x)=e^{-x}. Fazendo isso obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}(2x+1).
Pelo produto derivado (regra da cadeia/produto), o lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{-x}y:
\bigl(e^{-x}y\bigr)' = e^{-x}(2x+1).
Aqui verificação rápida: \bigl(e^{-x}y\bigr)' = e^{-x}y' + (e^{-x})'y = e^{-x}y' - e^{-x}y, que coincide com o lado esquerdo.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y = \int e^{-x}(2x+1)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calcular a integral
\int e^{-x}(2x+1)\,dx = \int 2x e^{-x}\,dx + \int e^{-x}\,dx.
Calcular passo a passo \int 2x e^{-x}\,dx por partes. Use a fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du. Escolher:
  • u=2x \Rightarrow du=2\,dx,
  • dv=e^{-x}\,dx \Rightarrow v=-e^{-x}.
Então
\int 2x e^{-x}\,dx = (2x)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(2)\,dx = -2x e^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx.
Mas \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}. Substituindo,
\int 2x e^{-x}\,dx = -2x e^{-x} + 2(-e^{-x}) = -2x e^{-x} - 2 e^{-x}.
Agora somar a outra integral:
\int e^{-x}(2x+1)\,dx = \bigl(-2x e^{-x} - 2 e^{-x}\bigr) + \bigl(- e^{-x}\bigr) = -2x e^{-x} - 3 e^{-x}.
Portanto
e^{-x}y = -2x e^{-x} - 3 e^{-x} + C.

Passo 6

Isolar y multiplicando por e^{x}:
y = -2x - 3 + C e^{x}.
Aqui C é constante arbitrária real (a constante de integração). Podemos escrever a solução geral explicitando a parte homogênea e a particular:
  • solução homogênea (da equação y' - y = 0) é \;y_h = C e^{x};
  • uma solução particular é \;y_p = -2x - 3;
  • solução geral: \;y = y_h + y_p = C e^{x} - 2x - 3.

Passo 7

Checagem rápida pelo método dos coeficientes indeterminados (confirmação): suponha y_p = a x + b. Então y_p' = a. Substituir em y' - y = 2x +1:
a - (a x + b) = 2x + 1.
Comparando coeficientes de x e constantes:
  • coeficiente de x: -a = 2 \Rightarrow a = -2;
  • constantes: a - b = 1 \Rightarrow -2 - b = 1 \Rightarrow b = -3.
    Logo y_p = -2x -3, que é o mesmo que obtivemos acima. Boa sinal de consistência.

Resposta

y = C e^{x} - 2x - 3

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