Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de 1ª ordem
Informações relevantes que o problema dá:
- A incógnita é a função
. - A derivada primeira aparece:
. - O termo do lado direito é a função conhecida
. - Trata-se de uma equação linear de primeira ordem com coeficientes dependentes de
(aqui, na prática, coeficiente constante).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem:
Comparando com a equação dada vemos que
O significado desses símbolos:
-
é a função multiplicando no lado esquerdo; -
é a função conhecida (fonte) no lado direito; - resolver a equação significa encontrar todas as funções
que satisfazem a relação para todo do domínio.
Método escolhido e por quê: a técnica padrão e mais didática aqui é o fator integrante (integrating factor). É um método geral para equações lineares de 1ª ordem e funciona bem com
simples (aqui constante). Vou usar esse método passo a passo; no final faço uma checagem rápida com coeficientes indeterminados (que também funciona quando o lado direito é polinômio).
Passo 3
Construir o fator integrante
. A definição é
Aqui
, logo
Interpretação: multiplicando a equação original por
transforma o lado esquerdo numa derivada total do produto
.
Passo 4
Multiplicar a equação por
. Fazendo isso obtemos
Pelo produto derivado (regra da cadeia/produto), o lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Aqui verificação rápida:
, que coincide com o lado esquerdo.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora calcular a integral
Calcular passo a passo
por partes. Use a fórmula de integração por partes
. Escolher:
-
, -
.
Então
Mas
. Substituindo,
Agora somar a outra integral:
Portanto
Passo 6
Isolar
multiplicando por
:
Aqui
é constante arbitrária real (a constante de integração). Podemos escrever a solução geral explicitando a parte homogênea e a particular:
- solução homogênea (da equação
) é ; - uma solução particular é
; - solução geral:
.
Passo 7
Checagem rápida pelo método dos coeficientes indeterminados (confirmação): suponha
. Então
. Substituir em
:
Comparando coeficientes de
e constantes:
- coeficiente de
: ; - constantes:
.
Logo, que é o mesmo que obtivemos acima. Boa sinal de consistência.