(7 pontos) Resolva o PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+25 y=5 x \\ y(0)=5, y^{\prime}(0)=-4,8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y'' + 25\,y = 5\,x,\\\ y(0)=5,\quad y'(0)=-4,8. \end{cases}
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo 5x. Para resolver, vamos:
  1. achar a solução geral da equação homogênea associada,
  2. encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados,
  3. somar homogênea e particular,
  4. usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 25\,y = 0.
A equação característica é r^2 + 25 = 0, cujas raízes são
r = \pm 5\,i.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 \cos\bigl(5x\bigr) + C_2 \sin\bigl(5x\bigr).

Passo 3

Para a solução particular y_p tentamos um polinômio de grau 1:
y_p(x) = A\,x + B.
Então
y_p''(x) = 0,
e substituindo em y''+25y=5x fica
0 + 25\,(A\,x + B) = 5\,x.
Comparando coeficientes de x e termo constante:
25A = 5 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac15, \qquad 25B = 0 \;\Longrightarrow\; B = 0.
Assim
y_p(x) = \tfrac15\,x.

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 \cos(5x) + C_2 \sin(5x) + \tfrac15\,x.

Passo 5

Calculamos y'(x) para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = -5\,C_1 \sin(5x) + 5\,C_2 \cos(5x) + \tfrac15.
Em x=0 temos
y(0) = C_1 + 0 + 0 = 5 \;\Longrightarrow\; C_1 = 5,
y'(0) = 0 + 5\,C_2 + \tfrac15 = -4,8 \;\Longrightarrow\; 5\,C_2 + 0,2 = -4,8 \;\Longrightarrow\; 5\,C_2 = -5,0 \;\Longrightarrow\; C_2 = -1.

Passo 6

Substituindo C_1=5 e C_2=-1 na solução geral, obtemos
y(x) = 5\cos(5x) - \sin(5x) + \tfrac15\,x.

Resposta

\boxed{y(x) = 5\cos(5x)\;-\;\sin(5x)\;+\;\frac{x}{5}.}

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