Encontre a solução geral para as seguintes equações diferenciais:
a) t^2 y^prime prime+4 t y^prime+2 y=0 ; >0

Passo 1

A equação diferencial é
t^2y''+4ty'+2y=0
para
t>0
. O conteúdo é uma equação de Euler (ou equidimensional) e vamos precisar usar o método de tentar uma solução do tipo
y=t^r
.

Passo 2

A equação
t^2y''+4ty'+2y=0
é de Euler, em que os coeficientes são potências de
t
. Nessas equações a técnica padrão é assumir uma solução
y=t^r
, pois isso transforma o problema numa equação algébrica para
r
. Supondo
y=t^r
, calculamos as derivadas:
y'=r t^r-1
e
y''=r(r-1)t^r-2
.

Passo 3

Substituindo
y, y', y''
na equação original e dividindo por
t^r-2
(que não é zero para
t>0
), obtemos o polinômio característico:
r(r-1)+4r+2=0

Passo 4

Resolvendo r(r-1)+4r+2=0 temos r^2+3r+2=0, cujas raízes são r=-1 e r=-2. As soluções fundamentais resultantes são
y1(t)=t^-1
e
y2(t)=t^-2
, que formam a base do espaço de soluções.

Resposta

y(t)=C1t^-1+C2t^-2

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