Questão 7. Considere uma equação diferencial da forma
a Faça a mudança de variáveis
afim de obter a equação separável
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
Nota: Uma equação diferencial que pode ser expressa como
é chamada de equação homogênea.
Passo 1
O enunciado trata de equações diferenciais do tipo
e pede:
a) mostrar, via a mudança de variável , que a equação se transforma em
a) mostrar, via a mudança de variável
b) aplicar isso para resolver
Passo 2
Fazendo
temos
. Diferenciando em relação a
,
Substituindo em
dá
que é a forma separável desejada.
Passo 3
No caso
, escrevemos em termos de
:
Logo
e a equação em
fica
Passo 4
Simplificamos o numerador:
Assim
É separável:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
e
Logo
Passo 6
Voltando a
y com
v=y/x , obtemos
Reunindo os logaritmos:
que é a solução geral implícita.