Questão 7. Considere uma equação diferencial da forma
d yd x=f(yx)
a Faça a mudança de variáveis v=yx afim de obter a equação separável
d vd x=f(v)-vx
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
d yd x=y-xy+x
Nota: Uma equação diferencial que pode ser expressa como y^prime=f(y / x) é chamada de equação homogênea.

Passo 1

O enunciado trata de equações diferenciais do tipo
d yd x=f!gl(yxgr)
e pede:
a) mostrar, via a mudança de variável v=y/x, que a equação se transforma em
d vd x=f(v)-vx
b) aplicar isso para resolver
d yd x=y - xy + x

Passo 2

Fazendo v=y/x temos y=v,x. Diferenciando em relação a x,
d yd x =dd x(v,x) =v + x,d vd x
Substituindo em d yd x=f(v)
v + x,d vd x=f(v) Longrightarrow x,d vd x=f(v)-v Longrightarrow d vd x=f(v)-vx,
que é a forma separável desejada.

Passo 3

No caso d yd x=(y - x)/(y + x), escrevemos em termos de v:
y - xy + x =v,x - xv,x + x =v - 1v + 1
Logo f(v)=(v-1)/(v+1) e a equação em v fica
d vd x =v-1v+1-vx

Passo 4

Simplificamos o numerador:
v-1v+1-v =v-1 - v(v+1)v+1 =-v^2 -1v+1 =-v^2+1v+1
Assim
d vd x =-v^2+1(v+1),x
É separável:
v+1v^2+1,d v = -d xx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integralv+1v^2+1,d v =integralvv^2+1,d v +integral1v^2+1,d v =12lnl(v^2+1r)+arctan(v),
e
integral -d xx=-lnl|xr|+C
Logo
12lnl(v^2+1r)+arctan(v)=-lnl|xr|+C

Passo 6

Voltando a y com v=y/x, obtemos
12ln!l(1+l(tfracyxr)^2r) +arctan!l(tfracyxr) =-lnl|xr|+C
Reunindo os logaritmos:
12ln!l(x^2+y^2r) +arctan!l(tfracyxr) =C',
que é a solução geral implícita.

Resposta

12lnl(x^2+y^2r) +arctan!l(tfracyxr)=C

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