Nos exercícios 17-25, a) encontre o domínio da função; b) encontre a imagem da função e c) descreva as curvas de nível da função.
f(x, y)=raizy-x

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=raiz,y-x,
e pede:
a) o domínio de f;
b) a imagem de f;
c) as curvas de nível de f.
O conteúdo aqui é análise de funções de duas variáveis, em particular domínio de raiz quadrada, imagem e curvas de nível.

Passo 2

Para achar o domínio devemos garantir que o radicando seja não negativo:
y - x >= 0
Logo o domínio é
D = (x,y)inR^2 mid y - x >= 0,
ou seja, toda a região do plano acima (ou sobre) da reta y=x.

Passo 3

A função raizt para t>=0 toma todos os valores não negativos. Além disso, dado qualquer w>=0 podemos escolher
y - x = w^2
para que f(x,y)=raizw^2=w.
Logo a imagem é
f(D) = [0,infty)

Passo 4

Para descrever as curvas de nível, fixamos um valor k e impomos
f(x,y)=k Longrightarrow raizy-x=k Longrightarrow y - x = k^2 Longrightarrow y = x + k^2
Isso mostra que, para cada k>=0, a curva de nível de nível k é a reta de inclinação 1 com intercepto vertical k^2. Para k<0 não há curvas de nível, pois raizy-x nunca é negativo.

Resposta

(a) (x,y)inR^2 mid y - x >= 0
(b) [0,infty)
(c) Para cada k>=0, a curva de nível f(x,y)=k é a reta (x,y)mid y = x + k^2.

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