Encontre a solução geral das seguintes equações:
2 x y+3 x^{2}+\left(x^{2}+2\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação (x^2+2)y' + 2x\,y + 3x^2 = 0. Este é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem em y. Para resolver, vamos reescrever o lado esquerdo como derivada de um produto e integrar.

Passo 2

Calculamos a derivada de (x^2+2)y:
\frac{d}{dx}\bigl((x^2+2)y\bigr) = (x^2+2)\,y' + 2x\,y.
Então a equação original fica
\frac{d}{dx}\bigl((x^2+2)y\bigr) + 3x^2 = 0.

Passo 3

Isolando a derivada e integrando:
\frac{d}{dx}\bigl((x^2+2)y\bigr) = -3x^2
\bigl((x^2+2)y\bigr) = -\int 3x^2\,dx + C = -x^3 + C.

Passo 4

Finalmente, isolamos y:
y = \frac{-x^3 + C}{x^2+2}.

Resposta

y = \frac{C - x^3}{x^2+2}.

Exercícios relacionados