Lembrando que √[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} e a^{-1}=\frac{1}{a^{\prime}} , calcule as seguintes integrais
\int \frac{16}{x^{5}} \cdot \ln (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{16}{x^{5}} \,\ln(5x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos o produto de uma função logarítmica e uma função potência.

Passo 2

Reescrevemos o integrando como
16\,x^{-5}\,\ln(5x)
e escolhemos
u = \ln(5x), \quad dv = 16\,x^{-5}\,dx.

Passo 3

Calculamos as diferenciais e a primitiva de dv:
du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int 16\,x^{-5}\,dx = 16\cdot\frac{x^{-4}}{-4} = -4\,x^{-4}.

Passo 4

Pela fórmula de partes,
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
temos
\int 16\,x^{-5}\ln(5x)\,dx = -4\,x^{-4}\ln(5x) - \int \bigl(-4\,x^{-4}\bigr)\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando,
-4\,x^{-4}\ln(5x) +4\int x^{-5}\,dx = -4\,x^{-4}\ln(5x) +4\cdot\frac{x^{-4}}{-4} = -4\,x^{-4}\ln(5x)-x^{-4}.

Passo 5

Fatorando x^{-4}, obtemos
-4\,x^{-4}\ln(5x)-x^{-4} = -\frac{4\ln(5x)+1}{x^4}.
Acrescentamos a constante de integração.

Resposta

-\frac{4\ln(5x)+1}{x^4}+C.

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