Encontre a solução geral das seguintes equações:
y^{\prime}+a y=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + a\,y = x
com a constante. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é indicado para equações da forma
y' + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Identificamos P(x)=a. Então o fator integrante \mu(x) é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int a\,dx} = e^{a x}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por \mu(x):
e^{a x}\,y' + a\,e^{a x}\,y = x\,e^{a x}.
O lado esquerdo passa a ser a derivada do produto \bigl(e^{a x}y\bigr), pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{a x}y\bigr) = e^{a x}y' + a\,e^{a x}y.
Portanto temos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{a x}y\bigr) = x\,e^{a x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{a x}y\bigr)\,dx = \int x\,e^{a x}\,dx.
Do lado esquerdo fica e^{a x}y. No direito usamos integração por partes com u = x e dv = e^{a x}dx:
\int x\,e^{a x}\,dx = \frac{x\,e^{a x}}{a} - \int \frac{e^{a x}}{a}\,dx = \frac{x\,e^{a x}}{a} - \frac{e^{a x}}{a^2} + C.
Assim,
e^{a x}y = \frac{x\,e^{a x}}{a} - \frac{e^{a x}}{a^2} + C.

Passo 5

Isolamos y dividindo por e^{a x}:
y = \frac{1}{e^{a x}}\Bigl(\frac{x\,e^{a x}}{a} - \frac{e^{a x}}{a^2} + C\Bigr) = \frac{x}{a} - \frac{1}{a^2} + C\,e^{-a x}.

Resposta

A solução geral da equação \,y' + a\,y = x é
y(x) = C\,e^{-a x} + \frac{x}{a} - \frac{1}{a^2},
onde C é constante arbitrária.

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