Encontre a solução geral das seguintes de primeira ordem e.d.o. lineares :
x(x-1) y{\prime}+y=x{2}(2 x-1)

Passo 1

O enunciado apresenta a e.d.o.
x(x-1),y' + y = x^2(2x - 1)
que é linear de primeira ordem em y(x). Vamos escrever no formato
y' + P(x),y = Q(x)
e resolver com fator integrante.

Passo 2

Dividindo por x(x-1) (supondo xneq0,1) obtemos
y' + 1x(x-1),y = x^2(2x-1)x(x-1) = x(2x-1)x-1,

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral 1x(x-1),dxr)
Fazendo frações parciais,
1x(x-1) = 1x-1 - 1x,
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mu(x) = exp!l(ln|x-1| - ln|x|r) = x-1x,

Passo 4

Multiplicando a equação padronizada por mu(x)=tfracx-1x
x-1x,y' + 1x^2,y = 2x - 1,
e o lado esquerdo é exatamente
l(mu(x),yr)', pois mu'(x)=1/x^2.

Passo 5

Integramos:
l(tfracx-1x,yr)' = 2x - 1 Longrightarrow x-1x,y = integral(2x-1),dx + C = x^2 - x + C

Passo 6

Isolando y resulta
y = xx-1,l(x^2 - x + Cr) = x(x^2 - x + C)x-1,

Resposta

A solução geral é
y(x) = xl(x^2 - x + Cr)x-1,
onde C é constante arbitrária.

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