Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos .
summ=1^infty sin ^m(1raizm)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
summ=1^inftysin^m!l(tfrac1raizmr)
usando os testes da razão ou da raiz. Vamos mostrar que ambos os testes indicam convergência absoluta, já que sin(1/raizm) é positivo para m grande.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz: seja am=sin^m!l(tfrac1raizmr). Temos
raiz[m]|am|=raiz[m]sin^m!l(tfrac1raizmr) =sin!l(tfrac1raizmr)
Como tfrac1raizmto0 e sin(x)sim x quando xto0, segue
limmtoinftyraiz[m]|am| =limmtoinftysin!l(tfrac1raizmr) =0
Como esse limite é menor que 1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Passo 3

Para reforçar, aplicamos também o teste da razão. Considere
rm =am+1am =sin^,m+1!l(tfrac1raizm+1r)sin^,m!l(tfrac1raizmr) =sin!l(tfrac1raizm+1r),gl(sin(tfrac1raizm+1)sin(tfrac1raizm)gr)^!m
Para m grande,
sin(tfrac1raizm+1)sin(tfrac1raizm) sim1/raizm+11/raizm =raizmm+1to1,
e portanto l(cdotsr)^mto e^-1/2 (pequeno ajuste, mas finito). Já sin(1/raizm+1)sim1/raizm+1to0. Logo
limmtoinftyrm=0<1,
e o teste da razão também implica convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

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