Encontre a solução geral das seguintes de primeira ordem e.d.o. lineares :
y^{\prime}+3 x^{2} y=e{-x{3}+x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear
y' + 3x^2,y = e^-x^3+x
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, pois esse tipo de equação tem a forma
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Identificamos
P(x)=3x^2, Q(x)=e^-x^3+x
O fator integrante é
mu(x)=expgl(integral P(x),dxgr) =expgl(integral 3x^2,dxgr) =expl(x^3r) =e^x^3

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x). O lado esquerdo fica a derivada do produto mu(x)y:
l(e^x^3yr)' = e^x^3l(y' + 3x^2yr)
e o lado direito fica
e^x^3cdot e^-x^3+x = e^x
Logo a equação torna-se
l(e^x^3yr)' = e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x^3y = integral e^x,dx = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y dividindo por e^x^3:
y = e^x + Ce^x^3 = e^x - x^3 + C,e^-x^3

Resposta

boxedy(x) = e^,x - x^3 + C,e^-x^3,
onde C é uma constante arbitrária.

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