Suponha que, inicialmente, há 120 gramas do isótopo de chumbo Pb-209. Se Q(t) representa a massa de chumbo no instante t (em horas), temos que Q(t) satisfaz a equação
d Qd t=-15 Q
Resolva o problema de valor inicial para Q(t).

Passo 1

O enunciado dá um modelo de decaimento radioativo para a massa Q(t) de Pb-209 em gramas, sujeita à equação diferencial
dQdt = -15Q
com condição inicial Q(0)=120. O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial de primeira ordem e separável.

Passo 2

Para resolver por separação de variáveis, escrevemos
dQQ = -15,dt
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Integrando, obtemos
integral dQQ = integral -15,dt Longrightarrow ln|Q| = -t5 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponentiando ambos os lados surge a solução geral
Q(t) = e^-tfract5 + C = Ae^-tfract5,
sendo A = e^C. Para determinar A, usamos Q(0)=120:
Q(0) = A e^0 = A = 120

Passo 5

Portanto, a solução do problema de valor inicial é
Q(t) = 120,e^-tfract5

Resposta

Q(t) = 120,e^-tfract5

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