Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
X^prime=(cc3 & 9 -1 & 3) X.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de ordem 2 com coeficientes constantes
X' = A,X,
onde
A = 3 & 9 -1 & 3
O método é encontrar os autovalores e autovetores de A. Como os autovalores forem complexos, vamos obter soluções complexas e depois extrair a parte real e imaginária para formar a base real do espaço de soluções.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!3-lambda & 9 -1 & 3-lambda = (3-lambda)^2 + 9
Logo:
(3-lambda)^2 + 9 = 0 ;Longrightarrow; lambda^2 - 6lambda + 9 + 9 = 0 ;Longrightarrow; lambda^2 -6lambda +18 = 0
As raízes são
lambda = 6 pm raiz36 - 722 = 6 pm 6i2 = 3 pm 3i

Passo 3

Tomemos lambda = 3+3i e resolvamos (A - lambda I),v=0.
A - lambda I = 3-(3+3i) & 9 -1 & 3-(3+3i) = -3i & 9 -1 & -3i
A primeira linha dá -3i,v1 + 9,v2 = 0, isto é v1 = -3i,v2.
Escolhendo v2=1, obtemos o autovetor complexo
v = -3i 1

Passo 4

Uma solução complexa associada é
X C(t) = e^lambda t,v = e^(3+3i)t-3i 1
Escrevamos e^(3+3i)t=e^3t(cos3t + isin3t). Então
X C(t) = e^3t-3i(cos3t + isin3t) cos3t + isin3t = e^3t3sin3t -3icos3t cos3t + isin3t

Passo 5

As partes real e imaginária de X C(t) são duas soluções reais linearmente independentes.
A parte real é
X1(t) = e^3t3sin3t cos3t,
a parte imaginária é
X2(t) = e^3t-3cos3t sin3t
Portanto, a solução geral real é
X(t) = C1,X1(t) + C2,X2(t),
com C1,C2 constantes reais.

Resposta

X(t) = C1,e^3t3sin3t cos3t + C2,e^3t-3cos3t sin3t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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