Verifique que as matrizes \Phi_{1}(t)=\left[\begin{array}{cc}e^{2 t} & t e^{2 t} \\\\ -e^{2 t} & -t e^{2 t}+e^{2 t}\end{array}\right] e \Phi_{2}(t)=\left[\begin{array}{cc}e^{2 t}+t e^{2 t} & t e^{2 t} \\\\ -t e^{2 t} & e^{2 t}-t e^{2 t}\end{array}\right] são matrizes fundamentais do sistema X^{\prime}(t)=\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right] X(t).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que cada matriz \Phi_i(t) satisfaz a EDO matricial
\Phi_i'(t)=A\,\Phi_i(t)
com A=\begin{pmatrix}3&1\\\ -1&1\end{pmatrix} e que \det\Phi_i(t)\neq0 (isto garante que as colunas são LI). Isso faz de \Phi_i(t) uma matriz fundamental.
Passo 2
Para \Phi_{1}(t)=\begin{pmatrix}e^{2t}&t\,e^{2t}\\\ -e^{2t}&-t\,e^{2t}+e^{2t}\end{pmatrix}:\n