Mostre que o princípio de superposição é válido para sistemas de equações lineares homogêneos de primeira ordem X^{\prime}(t)=A(t) X(t), isto é: mostre que se X_{1}(t), X_{2}(t), \ldots, X_{n}(t) são soluções do sistema anterior, então qualquer combinação linear destas c_{1} X_{1}(t)+c_{2} X_{2}(t)+\ldots+c_{n} X_{n}(t) é também solução do sistema linear homogêneo.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear homogêneo de primeira ordem
X'(t)=A(t)\,X(t),
onde A(t) é uma matriz de coeficientes de ordem n. Queremos provar o princípio de superposição, ou seja, que se \,X_{1}(t),X_{2}(t),\dots,X_{n}(t) são soluções do sistema, então
X(t)=c_{1}X_{1}(t)+c_{2}X_{2}(t)+\cdots+c_{n}X_{n}(t)
é também solução, para quaisquer constantes c_{1},\dots,c_{n}.

Passo 2

Como cada X_{i}(t) é solução, temos para todo i
X_{i}'(t)=A(t)\,X_{i}(t).
Além disso, sabemos que a operação de derivar é linear, isto é, para funções vetoriais Y(t) e Z(t) e escalares a,b, vale
\bigl(a\,Y(t)+b\,Z(t)\bigr)'=a\,Y'(t)+b\,Z'(t).

Passo 3

Definimos a combinação linear
X(t)=c_{1}X_{1}(t)+c_{2}X_{2}(t)+\cdots+c_{n}X_{n}(t).
Aplicando o operador derivada e usando a linearidade, obtemos
X'(t) =\bigl(c_{1}X_{1}(t)+\cdots+c_{n}X_{n}(t)\bigr)' =c_{1}X_{1}'(t)+\cdots+c_{n}X_{n}'(t).

Passo 4

Substituindo cada X_{i}'(t) por A(t)\,X_{i}(t), fica
X'(t) =c_{1}A(t)\,X_{1}(t)+\cdots+c_{n}A(t)\,X_{n}(t).
Usando agora a distributividade de A(t) sobre soma de vetores, isto é,
A(t)\bigl(c_{1}X_{1}(t)+\cdots+c_{n}X_{n}(t)\bigr) =c_{1}A(t)\,X_{1}(t)+\cdots+c_{n}A(t)\,X_{n}(t),
vemos que
X'(t)=A(t)\bigl(c_{1}X_{1}(t)+\cdots+c_{n}X_{n}(t)\bigr) =A(t)\,X(t).

Passo 5

Como mostramos que X'(t)=A(t)\,X(t), concluímos que X(t) satisfaz o mesmo sistema original. Portanto, qualquer combinação linear de soluções é também solução do sistema linear homogêneo, estabelecendo o princípio de superposição.

Resposta

Foi demonstrado que se X_{1},\dots,X_{n} são soluções de
X'=A(t)\,X,
então c_{1}X_{1}+\cdots+c_{n}X_{n} também satisfaz X'=A(t)\,X.

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