Mostre que o princípio de superposição é válido para sistemas de equações lineares homogêneos de primeira ordem
, isto é: mostre que se
são soluções do sistema anterior, então qualquer combinação linear destas
é também solução do sistema linear homogêneo.
Passo 1
O enunciado trata do sistema linear homogêneo de primeira ordem
onde
é uma matriz de coeficientes de ordem
. Queremos provar o princípio de superposição, ou seja, que se
são soluções do sistema, então
é também solução, para quaisquer constantes
.
Passo 2
Como cada
é solução, temos para todo
Além disso, sabemos que a operação de derivar é linear, isto é, para funções vetoriais
e
e escalares
, vale
Passo 3
Definimos a combinação linear
Aplicando o operador derivada e usando a linearidade, obtemos
Passo 4
Substituindo cada
por
, fica
Usando agora a distributividade de
sobre soma de vetores, isto é,
vemos que
Passo 5
Como mostramos que
, concluímos que
satisfaz o mesmo sistema original. Portanto, qualquer combinação linear de soluções é também solução do sistema linear homogêneo, estabelecendo o princípio de superposição.
Resposta
Foi demonstrado que se
são soluções de
então
também satisfaz
.