(Simmons, p. 62) Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y^{\prime}+y \operatorname{cotg} x=2 x \operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y\,\cot x = 2x\,\csc x.
Trata-se de um ODE linear na forma y' + P(x)y = Q(x) com P(x)=\cot x e Q(x)=2x\,\csc x. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\biggl(\int P(x)\,dx\biggr) =\exp\bigl(\int\cot x\,dx\bigr) =\exp\bigl(\ln|\sin x|\bigr) =|\sin x|.
Podemos escolher \mu(x)=\sin x (absorvendo o sinal em constante posterior).

Passo 3

Multiplicando toda a equação por \sin x obtemos
\sin x\,y' + y\,\sin x\cot x = 2x\,\csc x\sin x,
isto é
\sin x\,y' + y\,\cos x = 2x.
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto \sin x\,y:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\,y\bigr)=2x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\sin x\,y = \int 2x\,dx = x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x)=\frac{x^2 + C}{\sin x} =x^2\csc x + C\,\csc x.

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