Encontre a solução geral do sistema abaixo, dada a condição inicial encontre a única solução. Para encontrar a solução particular, use o método dos coeficientes a determinar ou a fórmula da variação dos parâmetros.
Dica: A inversa de uma matriz
é dada por
Dica: A inversa de uma matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! A questão pede para encontrar a solução geral do sistema dada por:
Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais, encontrar autovalores e autovetores da matriz, e aplicar métodos para encontrar a solução geral e particular. Também vamos utilizar a fórmula da inversa de uma matriz 2x2 conforme dado na dica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem o termo não homogêneo:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores da matriz:
Passo 3
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
Onde $ I $ é a matriz identidade. Calculando:
Resolvendo $ \lambda^2 + 1 = 0 $:
Então, os autovalores são $ \lambda_1 = i $ e $ \lambda_2 = -i $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com $ \lambda = i $:
Resolvendo $ (A - iI)\mathbf{v} = 0 $:
Vamos resolver a primeira equação:
Multiplicando numerador e denominador por $ 2 + i $:
Então, o autovetor correspondente a $ \lambda = i $ é:
Passo 5
De maneira similar, para $ \lambda = -i $, encontramos o autovetor:
Resolvendo $ (A + iI)\mathbf{v} = 0 $:
Primeira equação:
Multiplicando numerador e denominador por $ 2 - i $:
Então, o autovetor correspondente a $ \lambda = -i $ é:
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Podemos simplificar essa expressão usando funções trigonométricas, já que $ e^{i t} $ e $ e^{-i t} $ podem ser associados ao cosseno e seno:
Simplificando os constantes, temos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo. O termo não homogêneo é:
Vamos usar o método da variação dos parâmetros. Precisamos calcular a matriz fundamental $ \Phi(t) $ das soluções homogêneas.
A matriz fundamental é formada pelas soluções independentes:
Passo 8
Para aplicar a variação dos parâmetros, usamos a seguinte fórmula:
Primeiro, precisamos encontrar $ \Phi^{-1}(t) $. A inversa de uma matriz $ 2 \times 2 $ é dada por:
Onde $ a, b, c, d $ são os elementos da matriz $ \Phi(t) $.
Calculando o determinante:
Então,
Passo 9
Agora, multiplicamos $ \Phi^{-1}(t) $ pela função $ \mathbf{F}(t) $:
Passo 10
Integrando:
A integral de $ \frac{1}{\sin t \cos t} $ pode ser simplificada:
Essa integral é mais complexa, mas sabemos que:
Então,
Passo 11
Multiplicando pela matriz fundamental $ \Phi(t) $:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $:
Passo 12
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 13
Aplicando a condição inicial $ \mathbf{X}(0) =
$:
Substituindo $ t = 0 $:
Simplificando:
Então, $ C_1 = 0 $. Como não há contribuição de $ C_2 $, ele também é zero.
Resposta
A solução única do sistema dado é: