Encontre a solução geral do sistema abaixo, dada a condição inicial encontre a única solução. Para encontrar a solução particular, use o método dos coeficientes a determinar ou a fórmula da variação dos parâmetros.
Dica: A inversa de uma matriz 2 times 2 é dada por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! A questão pede para encontrar a solução geral do sistema dada por:
X^prime= 2 & -5 1 & -2 X + sec t 0 , X(0) = 0 0
Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais, encontrar autovalores e autovetores da matriz, e aplicar métodos para encontrar a solução geral e particular. Também vamos utilizar a fórmula da inversa de uma matriz 2x2 conforme dado na dica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem o termo não homogêneo:
X^prime = 2 & -5 1 & -2 X
Para isso, precisamos encontrar os autovalores da matriz:
A = 2 & -5 1 & -2

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde $ I $ é a matriz identidade. Calculando:
I
Resolvendo $ \lambda^2 + 1 = 0 $:
det( 2 - lambda & -5 1 & -2 - lambda ) = (2 - lambda)(-2 - lambda) - (-5)(1) = (lambda^2 - 0lambda - 4) + 5 = lambda^2 - 4 + 5 = lambda^2 + 1 = 0
Então, os autovalores são $ \lambda_1 = i $ e $ \lambda_2 = -i $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com $ \lambda = i $:
Resolvendo $ (A - iI)\mathbf{v} = 0 $:
lambda = i
Vamos resolver a primeira equação:
(A - iI)v = 0
Multiplicando numerador e denominador por $ 2 + i $:
2 - i & -5 1 & -2 - i v1 v2 = 0 0
Então, o autovetor correspondente a $ \lambda = i $ é:
(2 - i)v1 - 5v2 = 0 Rightarrow v1 = 52 - iv2

Passo 5

De maneira similar, para $ \lambda = -i $, encontramos o autovetor:
Resolvendo $ (A + iI)\mathbf{v} = 0 $:
lambda = -i
Primeira equação:
(A + iI)v = 0
Multiplicando numerador e denominador por $ 2 - i $:
2 + i & -5 1 & -2 + i v1 v2 = 0 0
Então, o autovetor correspondente a $ \lambda = -i $ é:
(2 + i)v1 - 5v2 = 0 Rightarrow v1 = 52 + iv2

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Xh(t) = c1 e^i t 2 + i 1 + c2 e^-i t 2 - i 1
Podemos simplificar essa expressão usando funções trigonométricas, já que $ e^{i t} $ e $ e^{-i t} $ podem ser associados ao cosseno e seno:
e^i t
Simplificando os constantes, temos:
e^-i t

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo. O termo não homogêneo é:
F(t) = sec t 0
Vamos usar o método da variação dos parâmetros. Precisamos calcular a matriz fundamental $ \Phi(t) $ das soluções homogêneas.
A matriz fundamental é formada pelas soluções independentes:
Phi(t)

Passo 8

Para aplicar a variação dos parâmetros, usamos a seguinte fórmula:
Xp(t) = Phi(t) integral Phi^-1(t) F(t) , dt
Primeiro, precisamos encontrar $ \Phi^{-1}(t) $. A inversa de uma matriz $ 2 \times 2 $ é dada por:
Phi^-1(t)
Onde $ a, b, c, d $ são os elementos da matriz $ \Phi(t) $.
Calculando o determinante:
2 times 2
Então,
Phi^-1(t) = 1ad - bc d & -b -c & a

Passo 9

Agora, multiplicamos $ \Phi^{-1}(t) $ pela função $ \mathbf{F}(t) $:
Phi^-1(t)

Passo 10

Integrando:
integral Phi^-1(t) F(t) , dt = integral 0 1sin t cos t dt = constante integral 1sin t cos t dt
A integral de $ \frac{1}{\sin t \cos t} $ pode ser simplificada:
1sin t cos t
Essa integral é mais complexa, mas sabemos que:
integral 1sin t cos t dt = integral ( 1sin t cdot 1cos t ) dt = integral sec t csc t , dt
Então,
integral sec t csc t , dt = ln |tan t| + C

Passo 11

Multiplicando pela matriz fundamental $ \Phi(t) $:
Phi(t)
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $:
Xp(t) = Phi(t) C1 ln |tan t| + C2 = C1 2 cos t + sin t cos t + (ln |tan t| + C2) sin t 0

Passo 12

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
X(t) = Xh(t) + Xp(t) = C1 2 1 cos t + C2 1 0 sin t + sin t ln |tan t| 0

Passo 13

Aplicando a condição inicial $ \mathbf{X}(0) = X(0) = 0 0 $:
Substituindo $ t = 0 $:
t = 0
Simplificando:
0 0 = C1 2 1 cos 0 + C2 1 0 sin 0 + sin 0 ln |tan 0| 0
Então, $ C_1 = 0 $. Como não há contribuição de $ C_2 $, ele também é zero.

Resposta

A solução única do sistema dado é:
X(t) = sin t ln |tan t| 0

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