Encontre a transformada de Laplace inversa das funções.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão e aplicar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace.
Passo 2
Vamos começar expandindo o numerador
. Ao multiplicar isso, temos:
Então, a função
fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir a fração em três partes separadas:
Isso facilita a aplicação da transformada de Laplace inversa em cada termo individualmente.
Passo 4
Vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo:
- Para
, sabemos que:
- Para
, usamos a propriedade de deslocamento no tempo:
Aplicando isso aqui com
e
:
- Para
, aplicamos a mesma propriedade com e :
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: