Resolva as integrais:
\int \operatorname{sen}^{3} t \cos ^{4} t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{3}t \,\cos^{4}t \,dt.
O conteúdo envolvido é integração de potências de seno e cosseno. Vamos usar a identidade \sin^{2}t=1-\cos^{2}t para reduzir a potência de seno e, em seguida, aplicar uma substituição u-substituição para integrar um polinômio.

Passo 2

Reescrevemos \sin^{3}t como \sin^{2}t\cdot\sin t e usamos a identidade:
\sin^{3}t=\sin^{2}t\cdot\sin t=(1-\cos^{2}t)\,\sin t.
Assim, a integral fica
\int \sin^{3}t \,\cos^{4}t \,dt =\int (1-\cos^{2}t)\,\cos^{4}t\,\sin t \,dt.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos t, \quad du=-\sin t\,dt, \quad \sin t\,dt=-du.
Substituindo em
\int (1-\cos^{2}t)\,\cos^{4}t\,\sin t \,dt
obtemos
\int (1-u^{2})\,u^{4}\,(-du) =-\int \bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos o polinômio:
-\int \bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du =-\int u^{4}\,du+\int u^{6}\,du =-\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}+C.

Passo 5

Voltando à variável t, como u=\cos t, a antiderivada geral é
-\frac{\cos^{5}t}{5}+\frac{\cos^{7}t}{7}+C.

Resposta

-\frac{\cos^{5}t}{5}+\frac{\cos^{7}t}{7}+C.

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