Resolva as integrais:
\int_{1}^{3} r^{3} \ln r d r

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{1}^{3}r^{3}\ln r\,dr.
O conteúdo principal é integração por partes, pois temos o produto de uma função polinomial r^3 e uma logarítmica \ln r. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln r, \quad dv = r^3\,dr.
Então
du = \frac{1}{r}\,dr, \quad v = \int r^3\,dr = \frac{r^4}{4}.
Aplicando integração por partes:
\int r^3\ln r\,dr = \frac{r^4}{4}\ln r \;-\;\int \frac{r^4}{4}\cdot\frac{1}{r}\,dr = \frac{r^4}{4}\ln r \;-\;\frac{1}{4}\int r^3\,dr = \frac{r^4}{4}\ln r - \frac{1}{4}\cdot\frac{r^4}{4} + C = \frac{r^4}{4}\ln r - \frac{r^4}{16} + C.

Passo 3

Definimos a primitiva
F(r) = \frac{r^4}{4}\ln r - \frac{r^4}{16}
e avaliamos nos extremos:
F(3) = \frac{3^4}{4}\ln 3 - \frac{3^4}{16} = \frac{81}{4}\ln 3 - \frac{81}{16},
F(1) = \frac{1^4}{4}\ln 1 - \frac{1^4}{16} = 0 - \frac{1}{16} = -\frac{1}{16}.

Passo 4

A integral definida é
F(3) - F(1) = \Bigl(\frac{81}{4}\ln 3 - \frac{81}{16}\Bigr) - \Bigl(-\frac{1}{16}\Bigr) = \frac{81}{4}\ln 3 - \frac{80}{16} = \frac{81}{4}\ln 3 - 5 = \frac{81\ln 3 - 20}{4}.

Resposta

\int_{1}^{3}r^{3}\ln r\,dr = \frac{81\ln 3 - 20}{4}.

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