Encontre a solução geral dos sistemas abaixo:
X^{\prime}=\left[
\right] X
X^{\prime}=\left[
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs
Informações dadas:
A pergunta é: encontrar a solução geral
que satisfaz essa equação para todo
.]
Passo 2
Ideia de solução (motivo): vamos procurar soluções do tipo de “exponencial vetorial”
onde
é um número (autovalor) e
é um vetor (autovetor). Por que isso funciona? Se
então
e, substituindo em
, obtemos
Cancelando
chega-se à condição
Para existir
essa matriz deve ser singular, isto é,
. Essa equação dá os autovalores
.
Passo 3
Calcular o polinômio característico
:
O determinante é
Desenvolvendo o produto:
logo
Resolvendo
obtemos os autovalores
isto é,
e
.]
Passo 4
Encontrar um autovetor para
. Resolvemos
:
Das equações da matriz temos (por exemplo a primeira)
Isolando
:
Escolhemos
para obter um autovetor simples:
Observação: qualquer múltiplo de
também é autovetor; escolhemos um com números pequenos para facilitar.]
Passo 5
Encontrar um autovetor para
. Resolvemos
:
Da primeira equação
Escolhendo
obtemos o autovetor
Passo 6
Verificar independência linear dos autovetores:
não é múltiplo escalar de
(porque
), então são linearmente independentes. Isso é importante porque, em
, dois autovetores independentes formam uma base e permitem escrever a solução geral como combinação linear das soluções exponenciais associadas.
Passo 7
Escrever a solução geral como combinação linear das soluções fundamentais
:
onde
são constantes arbitrárias (determinar por condições iniciais, se houver). Em coordenadas, isso dá