\; - A matriz do sistema é \displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
\; - A incógnita é o vetor função \displaystyle X(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt]x_2(t)\end{pmatrix}. \; - Queremos a solução geral X(t) (ou seja, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias).]
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para um sistema linear com matriz constante, uma forma eficiente de obter a solução geral é procurar soluções da forma exponencial associadas a autovalores e autovetores da matriz A. Se \lambda é um autovalor e v um autovetor não nulo, então
X(t)=e^{\lambda t}v
é uma solução do sistema. Se conseguimos dois autovetores linearmente independentes (no caso 2\times2), a combinação linear das duas soluções exponenciais fornece a solução geral:
Explico cada termo: \lambda_i são números (autovalores), v_i são vetores em \mathbb{R}^2 (autovetores), e c_1,c_2 são constantes reais arbitrárias que ajustam a solução às condições iniciais.
Passo 3
Vamos calcular os autovalores de A. Eles são as raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Escrevendo:
Portanto o polinômio característico é \lambda^2-6\lambda+5.]
Passo 4
Agora resolvemos \lambda^2-6\lambda+5=0. Usando a fórmula quadrática ou fatorando:
\lambda^2-6\lambda+5=(\lambda-5)(\lambda-1).
Logo as raízes são
\lambda_1=5,\qquad \lambda_2=1.
Como os autovalores são distintos, sabemos (teorema) que existem dois autovetores linearmente independentes, e portanto a solução geral pode ser escrita como combinação linear de e^{\lambda_1 t}v_1 e e^{\lambda_2 t}v_2.
Passo 5
Encontrar o autovetor associado a \lambda_1=5. Resolvemos (A-5I)v=0, isto é
Das equações da primeira linha temos -3v_1+v_2=0, ou seja v_2=3v_1. Podemos escolher v_1=1 (qualquer múltiplo serve), então um autovetor correspondente é
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]
Passo 6
Encontrar o autovetor associado a \lambda_2=1. Resolvendo (A-I)v=0:
Da primeira linha v_1+v_2=0, logo v_2=-v_1. Tomando v_1=1 obtemos o autovetor
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]
Passo 7
Verificação de independência: os autovetores \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} não são múltiplos um do outro (suas razões coordenada a coordenada são diferentes), portanto são linearmente independentes. Assim formam uma base de soluções para o sistema.]
Passo 8
Escrever a solução geral usando as soluções exponenciais encontradas. Cada par (\lambda_i, v^{(i)}) dá uma solução e^{\lambda_i t}v^{(i)}. Logo a solução geral é
onde c_1,c_2\in\mathbb{R} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, caso existam. (Se quiser relacionar com a matriz exponencial: se S=[v^{(1)}\\ v^{(2)}] então e^{At}=S\operatorname{diag}(e^{5t},e^{t})S^{-1} e X(t)=e^{At}X(0).)]
Passo 9
Se quiser ver a forma matricial explícita de e^{At} (útil em provas): tomando