Encontre a solução geral dos sistemas de equações abaixo
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}3 & -2 \\\\ 2 & -2\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
X' = A\,X,
onde
A = \begin{pmatrix}3 & -2 \\[0.3em] 2 & -2\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de sistemas via valores e vetores próprios. Vamos (1) achar o polinômio característico de A e suas raízes \lambda, (2) determinar os vetores próprios, e (3) montar a combinação linear exponencial.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 \\[0.3em] 2 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(-2-\lambda) - (-2)\cdot2 = \lambda^2 - \lambda - 2.
Resolvendo
\lambda^2 - \lambda - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2},
obtemos
\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -1.]

Passo 3

Para \lambda_1 = 2 resolvemos (A - 2I)v = 0:
\begin{pmatrix}1 & -2 \\[0.3em] 2 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; x - 2y = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2y.
Escolhendo y=1, temos o vetor próprio
v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = -1 resolvemos (A + I)v = 0:
\begin{pmatrix}4 & -2 \\[0.3em] 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; 4x - 2y = 0 \;\Longrightarrow\; y = 2x.
Escolhendo x=1, obtemos
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução geral de X' = A\,X é a combinação linear dos modos
X(t) = C_1 e^{\lambda_1 t}\,v_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}\,v_2 = C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias fixadas pelas condições iniciais.

Resposta

X(t) = C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.

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