Encontre o vetor solução do PVI abaixo
\left\{\begin{array}{l}X^{\prime}=A X \\\ X(0)=X_{0}\end{array} \quad\right. onde A=\left(\begin{array}{ll}3 & -4 \\\\ 1 & -1\end{array}\right), \quad X_{0}=\binom{1}{1}

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
\begin{cases} X'(t)=A\,X(t),\\\ X(0)=X_{0}, \end{cases}
onde
A=\begin{pmatrix}3 & -4\\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad X_{0}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
O conteúdo é teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes; vamos usar autovalores, autovetores e vetores generalizados para montar a solução.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -4\\[6pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(-1-\lambda)-(-4\cdot1) =\lambda^{2}-2\lambda+1 =(\lambda-1)^{2}.
Logo há autovalor duplo
\lambda=1.
]

Passo 3

Encontramos os autovetores resolvendo (A-I)v=0:
(A-I)=\begin{pmatrix}2 & -4\\[3pt]1 & -2\end{pmatrix},
de onde 2v_{1}-4v_{2}=0\Rightarrow v_{1}=2v_{2}.
Um autovetor conveniente é
v=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
]

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica é 1, buscamos vetor generalizado w tal que
(A-I)\,w=v.
Isto é,
\begin{pmatrix}2 & -4\\\ 1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix},
daí 2a-4b=2 e a-2b=1. Escolhendo b=0 a=1, ou seja
w=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

A solução geral do sistema com autovalor único e vetor generalizado é
X(t) =e^{\lambda t}\Bigl(C_{1}\,v +C_{2}\bigl(t\,v + w\bigr)\Bigr) =e^{t}\Bigl(C_{1}\,v +C_{2}(t\,v+w)\Bigr).

Passo 6

Impondo X(0)=X_{0} temos
X(0)=C_{1}\,v +C_{2}\,w =\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Como v=(2,1)^{T} e w=(1,0)^{T}, isso gera o sistema
2C_{1}+C_{2}=1, \quad C_{1}=1.
Logo C_{1}=1 e C_{2}=-1.

Passo 7

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=-1 em
X(t)=e^{t}\bigl(v - (t\,v+w)\bigr) =e^{t}\bigl((1-t)\,v - w\bigr),
e expandindo, obtemos
X(t) =e^{t} \begin{pmatrix} (1-t)\,2 - 1\\\ (1-t)\,1 - 0 \end{pmatrix} =e^{t} \begin{pmatrix} 1 - 2t\\\\ 1 - t \end{pmatrix}.

Resposta

X(t) =e^{t} \begin{pmatrix} 1 - 2t\\\\ 1 - t \end{pmatrix}.

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