Encontre o vetor solução do PVI abaixo
onde
Passo 1
O enunciado pede a solução do PVI
onde
O conteúdo é teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes; vamos usar autovalores, autovetores e vetores generalizados para montar a solução.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
Logo há autovalor duplo
]
Passo 3
Encontramos os autovetores resolvendo
:
de onde
.
Um autovetor conveniente é
Um autovetor conveniente é
]
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica é
, buscamos vetor generalizado
tal que
Isto é,
daí
e
. Escolhendo
dá
, ou seja
Passo 5
A solução geral do sistema com autovalor único e vetor generalizado é
Passo 6
Impondo
temos
Como
e
, isso gera o sistema
Logo
e
.
Passo 7
Substituindo
e
em
e expandindo, obtemos