Encontre o vetor solução do PVI abaixo
\left\{\begin{array}{l}X^{\prime}=A X \\\ X(0)=X_{0}\end{array} \quad\right. onde A=\left(\begin{array}{rr}5 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right), \quad X_{0}=\binom{2}{-1}

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial (PVI) para o sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes
X' = A\,X,\qquad X(0)=X_{0},
onde
A=\begin{pmatrix}5 & -1\\\ 3 & 1\end{pmatrix},\quad X_{0}=\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}.
Para resolver precisamos usar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes e então montar a solução geral
X(t)=C_{1}e^{\lambda_{1}t}v_{1}+C_{2}e^{\lambda_{2}t}v_{2}
e determinar as constantes C_{1},C_{2} via condição inicial.

Passo 2

Calculamos os autovalores \lambda de A resolvendo
\det(A-\lambda I)=0.
Temos
\det\!\begin{pmatrix}5-\lambda & -1\\\ 3 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(1-\lambda)-(-1)\cdot3 =\lambda^{2}-6\lambda+8,
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\lambda^{2}-6\lambda+8=0\quad\Rightarrow\quad\lambda_{1}=4,\;\lambda_{2}=2.

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor não-nulo:
1. Para \lambda_{1}=4, resolvemos (A-4I)v=0:
\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 3 & -3\end{pmatrix}\!v=0 \;\Rightarrow\;v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
2. Para \lambda_{2}=2, resolvemos (A-2I)v=0:
\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 3 & -1\end{pmatrix}\!v=0 \;\Rightarrow\;v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução geral do sistema é
X(t)=C_{1}e^{4t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +C_{2}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}
onde C_{1},C_{2} são constantes a determinar pela condição X(0)=X_{0}.

Passo 5

Impondo X(0)=X_{0} obtemos
C_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +C_{2}\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\\ C_{1}+3C_{2}=-1, \end{cases}
cuja solução é
C_{2}=-\tfrac{3}{2},\qquad C_{1}=2-C_{2}=\tfrac{7}{2}.

Resposta

X(t) = \frac{7}{2} e^{4t} \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix} - \frac{3}{2} e^{2t} \begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{2} e^{4t} - \frac{3}{2} e^{2t} \\\ [6pt] \frac{7}{2} e^{4t} - \frac{9}{2} e^{2t} \end{pmatrix}.

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