Encontre a solução geral dos sistemas de equações abaixo
X^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -1 \\\\ 2 & -1\end{array}\right) X

Passo 1

Temos o sistema linear de coeficientes constantes
X' = A\,X,\quad A = \begin{pmatrix}-1 & -1 \\[6pt] 2 & -1\end{pmatrix},
e queremos a solução geral real. Vamos usar o método de autovalores e autovetores complexos, gerando depois a solução real por combinação das partes real e imaginária.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}-1-\lambda & -1 \\[4pt]2 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (-1-\lambda)^2 - (-1)\cdot 2 = \lambda^2 +2\lambda +1 +2 = \lambda^2 +2\lambda +3.
Igualando a zero, obtemos \lambda^2 +2\lambda +3=0.]

Passo 3

Resolvendo
\lambda^2 +2\lambda +3 = 0
pelo deltão, temos
\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4 -12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}.

Passo 4

Tomemos \lambda_1 = -1 + i\sqrt{2}. Para achar o autovetor resolvemos (A - \lambda_1 I)v=0:
\begin{pmatrix}-1 -(-1 + i\sqrt{2}) & -1 \\[4pt]2 & -1 -(-1 + i\sqrt{2})\end{pmatrix} v = \begin{pmatrix}-i\sqrt{2} & -1 \\[4pt]2 & -i\sqrt{2}\end{pmatrix}v = 0.
Da primeira linha -i\sqrt{2}\,v_1 - v_2 = 0 segue v_2 = -i\sqrt{2}\,v_1. Escolhendo v_1=1,
v = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] -i\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução complexa associada é
X_c(t) = C\,e^{\lambda_1 t}\,v = C\,e^{(-1 + i\sqrt{2})t}\, \begin{pmatrix}1 \\[4pt] -i\sqrt{2}\end{pmatrix}.
Escrevendo e^{(-1 + i\sqrt{2})t} = e^{-t}(\cos(\sqrt{2}t) + i\sin(\sqrt{2}t)) e multiplicando pelo vetor v, obtemos componentes cujas partes real e imaginária são soluções reais independentes.]

Passo 6

Extraindo a parte real e imaginária, definimos duas soluções fundamentais reais:
\phi_1(t) = e^{-t} \begin{pmatrix} \cos(\sqrt{2}\,t) \\[4pt] \sqrt{2}\,\sin(\sqrt{2}\,t) \end{pmatrix}, \quad \phi_2(t) = e^{-t} \begin{pmatrix} \sin(\sqrt{2}\,t) \\[4pt] -\,\sqrt{2}\,\cos(\sqrt{2}\,t) \end{pmatrix}.
A solução geral real é combinação linear dessas duas vetoriais.]

Resposta

X(t) = C_1\,e^{-t} \begin{pmatrix} \cos(\sqrt{2}\,t) \\[4pt] \sqrt{2}\,\sin(\sqrt{2}\,t) \end{pmatrix} + C_2\,e^{-t} \begin{pmatrix} \sin(\sqrt{2}\,t) \\[4pt] -\,\sqrt{2}\,\cos(\sqrt{2}\,t) \end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.]

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