Encontre a solução geral dos sistemas de equações abaixo
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares
Aqui o conteúdo é resolução de sistemas lineares constantes por autovalores e autovetores (e, se necessário, vetores generalizados).]
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico de
. Calculamos
Logo há um único autovalor
de multiplicidade algébrica
.]
Passo 3
Agora encontramos os autovetores associados a
resolvendo
Dessa equação segue
, então um autovetor é
Como só apareceu um autovetor, o espaço próprio tem dimensão
e precisamos de um vetor generalizado.]
Passo 4
Buscamos um vetor
que satisfaça
Isto é,
Das equações segue
. Escolhendo por exemplo
obtemos
. Logo
Passo 5
Para sistemas com autovalor duplo e único autovetor usa-se a forma geral
onde
é o autovetor e
o vetor generalizado.
Resposta
com
.