Encontre a solução geral dos sistemas de equações abaixo
X^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares
X' = \begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]1 & 3\end{pmatrix}X.
Aqui o conteúdo é resolução de sistemas lineares constantes por autovalores e autovetores (e, se necessário, vetores generalizados).]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A=\bigl(1\;-1;1\;3\bigr). Calculamos
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[4pt]1 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(3-\lambda)-(-1)\cdot1
=(1-\lambda)(3-\lambda)+1 =\lambda^2-4\lambda+4 =(\lambda-2)^2.
Logo há um único autovalor \lambda=2 de multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Agora encontramos os autovetores associados a \lambda=2 resolvendo
(A-2I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\end{pmatrix}=0.
Dessa equação segue v_1+v_2=0, então um autovetor é
v=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Como só apareceu um autovetor, o espaço próprio tem dimensão 1 e precisamos de um vetor generalizado.]

Passo 4

Buscamos um vetor w que satisfaça
(A-2I)w=v.
Isto é,
\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1\\[2pt]w_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Das equações segue w_1+w_2=-1. Escolhendo por exemplo w_1=0 obtemos w_2=-1. Logo
w=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para sistemas com autovalor duplo e único autovetor usa-se a forma geral
X(t) =c_1e^{2t}v +c_2\bigl(te^{2t}v+e^{2t}w\bigr),
onde v é o autovetor e w o vetor generalizado.

Resposta

X(t) =e^{2t}\Bigl[c_1\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +c_2\Bigl(t\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}\Bigr)\Bigr],
com c_1,c_2\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados