Encontre a solução geral dos sistemas de equações abaixo
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}3 & -4 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) X

Passo 1

Temos o sistema linear homogêneo de coeficientes constantes
X' = A\,X
com
A = \begin{pmatrix}3 & -4 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}\!.
Para resolver, vamos buscar os autovalores de A, depois os autovetores e, como veremos, precisaremos de um autovetor generalizado porque a multiplicidade algébrica de um autovalor excede a geométrica.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -4 \\[4pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(-1-\lambda) - (-4)\cdot1.
Expandindo,
(3-\lambda)(-1-\lambda) +4 = -3 -3\lambda +\lambda +\lambda^2 +4 = \lambda^2 -2\lambda +1 = (\lambda-1)^2.
Logo, o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Encontramos o autovetor de \lambda=1 resolvendo
(A - I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}2 & -4 \\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação 2v_1 -4v_2=0 segue v_1=2v_2. Tomando v_2=1, escolhemos
v = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Note que só há um autovetor (geometricamente dimens.=1).]

Passo 4

Como o autovalor \lambda=1 é defeituoso, buscamos um autovetor generalizado w satisfazendo
(A - I)w = v.
Isto é,
\begin{pmatrix}2 & -4 \\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Escrevendo as equações:
2w_1 -4w_2 = 2 e w_1 -2w_2 = 1.
Da segunda vem w_1 = 1 + 2w_2. Substituindo na primeira dá 2(1+2w_2) -4w_2=2, que é identidade, então escolhemos por simplicidade w_2=0, w_1=1. Assim
w = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Com v e w construímos duas soluções fundamentalmente independentes:
X_1(t) = e^{t}\,v, \qquad X_2(t) = e^{t}\bigl(t\,v + w\bigr).
Logo, a solução geral é combinação linear dessas:
X(t) = C_1\,X_1(t) + C_2\,X_2(t) = C_1 e^{t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{t}\Bigl(t\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}\Bigr).

Resposta

X(t) = C_1 e^{t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{t}\Bigl(t\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}\Bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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