Encontre a solução geral dos sistemas de equações abaixo
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de coeficientes constantes
X' = A\,X,\quad A = \begin{pmatrix}2 & -1\\[6pt]3 & -2\end{pmatrix}.
O método padrão é achar os autovalores e autovetores de A e escrever a combinação linear das soluções elementares e^{\lambda t}v.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0.
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[4pt]3 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(-2-\lambda) - (-1)\cdot3.
Expandindo:
(2-\lambda)(-2-\lambda) +3 = -4 -2\lambda +2\lambda +\lambda^2 +3 = \lambda^2 -1.]

Passo 3

Igualando a zero, obtemos
\lambda^2 -1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \pm1.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada valor de \lambda.
Para \lambda=1, resolvemos (A - I)v=0:
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]3 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad v_1 - v_2 = 0 \;\Rightarrow\; v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1, resolvemos (A + I)v=0:
\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad 3v_1 - v_2 = 0 \;\Rightarrow\; v^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cada par \bigl(\lambda,v\bigr) gera a solução elementar X(t)=e^{\lambda t}v. A solução geral é combinação linear dessas duas:
X(t) = C_{1}\,e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

X(t) = C_{1}\,e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.

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