Encontre a solução geral usando separação de variáveis:
(y^2-2 y) d x+x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
l(y^2-2yr),dx + x^2,dy = 0
e pede a solução geral por separação de variáveis. Vamos escrever em forma separável, integrando os dois lados.

Passo 2

Reescrevendo a equação para separar x e y, temos
x^2,dy = -l(y^2-2yr),dx Longrightarrow dyy^2-2y = -dxx^2

Passo 3

Para integrar o lado em y, fazemos frações parciais:
1y(y-2) = Ay + By-2,
onde
A(y-2)+B,y = 1 Longrightarrow A+B=0,;-2A=1 ;Rightarrow; A=-tfrac12,;B=tfrac12
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integral dyy^2-2y = integrall(-tfrac121y+tfrac121y-2r)dy = -tfrac12lnlvert yrvert + tfrac12lnlvert y-2rvert

Passo 4

O lado em x é
-integral dxx^2 = -l(-tfrac1xr) = 1x

Passo 5

Igualando as integrais e incluindo a constante C, temos
-tfrac12lnlvert yrvert + tfrac12lnlvert y-2rvert = 1x + C
Multiplicando por 2 e combinando os logaritmos,
lnllverty-2yrrvert = 2x + C1
Exponenciando e reescrevendo a constante, obtemos a forma implícita da solução:
y-2y = C,e^2/x

Resposta

lnllverty-2yrrvert = 2x + C
\quad ou equivalentemente\quad
y-2y = C,e^2/x

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