Escreva uma solução explícita (envolvendo uma integral definida) para os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
y^prime=1x, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
y'=1x
com a condição inicial ,y(1)=1.
Trata-se de uma EDO de primeira ordem separável: vamos separar variáveis e integrar para obter a solução em forma de integral definida.

Passo 2

Separe variáveis e escreva as integrais desde o ponto inicial até x:
dydx=1x Longrightarrow dy=dxx Longrightarrow integraly(1)=1^y(x)du=integral1^x1t,dt

Passo 3

Calcule cada integral:
integral1^y(x)du = y(x)-1, integral1^x1t,dt = lnlvert xrvert
Portanto
y(x)-1=lnlvert xrvert Longrightarrow y(x)=1+lnlvert xrvert

Resposta

A solução explícita em forma de integral definida é
y(x)=1+integral1^x1t,dt,
e, de modo equivalente, em forma fechada
y(x)=1+lnlvert xrvert

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