Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
d ud t=sin t cos ^2 u, u(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
dudt = sin t ,cos^2 u, u(0)=0
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de variáveis separáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis agrupando os termos em u de um lado e os de t de outro:
ducos^2 u = sin t,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos integral sec^2 u,du = tan u e no direito integral sin t,dt = -cos t. Assim, obtemos
tan u = -cos t + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial u(0)=0. Em t=0 temos tan u(0)=tan 0=0 e -cos0 + C = -1 + C. Logo
-1 + C = 0 Longrightarrow C = 1

Passo 5

Substituindo C=1 na expressão geral, fica
tan u = 1 - cos t
Para isolar u, tomamos a função inversa da tangente:
u(t) = arctanl(1 - cos tr)

Resposta

u(t) = arctanl(1 - cos tr)

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