Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Observação: c1 e c2 são constantes.
y=2 x y^prime+y(y^prime)^2 ; y=c1(x+14 c1)

Passo 1

Vamos lá! Temos uma equação diferencial que a gente precisa verificar se a função dada resolve. A equação é:
y = 2x y' + y (y')^2
E a função fornecida é:
y = c1(x + 14 c1)
Aqui, c1 e c2 são constantes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de y em relação a x e substituir na equação diferencial para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y em relação a x . A função é:
y = c1(x + 14 c1)
Derivando cada termo em relação a x :
y' = c1 cdot ddx(x + 14 c1) = c1 cdot (1 + 0) = c1
Então, a derivada y' é simplesmente c1 .

Passo 3

Agora, vamos substituir y e y' na equação diferencial:
y = 2x y' + y (y')^2
Substituindo:
c1(x + 14 c1) = 2x cdot c1 + c1(x + 14 c1) cdot (c1)^2
Vamos simplificar o lado direito:
2c1x + c1(x + 14 c1) c1^2 = 2c1x + c1^3(x + 14 c1)
Agora, comparando ambos os lados:
  • O lado esquerdo é c1x + 14c1^2
  • O lado direito é 2c1x + c1^3x + 14c1^4
Para que a igualdade seja verdadeira para todo x , os coeficientes de x e os termos constantes devem ser iguais. Isso só acontece se os termos envolvendo c1^3 e c1^4 forem zero, o que não ocorre a menos que c1 = 0 . Porém, c1 é uma constante arbitrária, então isso não é garantido.

Resposta

Não, a função dada não satisfaz a equação diferencial para valores gerais de c1 .

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