Encontre a solução geral usando separação de variáveis:
x d vd x=1-v^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x dvdx = 1 - v^2
Este é um problema de separação de variáveis que vamos usar para encontrar v(x).

Passo 2

Reescrevo a equação de modo a deixar todos os termos em v de um lado e em x do outro:
dv1 - v^2 = dxx
Aqui assumi vneqpm1 e xneq0 para poder separar.

Passo 3

Integro ambos os lados:
integral dv1 - v^2 = integral dxx
O lado esquerdo é a primitiva de 1/(1-v^2), que é arctanh(v). Logo
arctanh(v) = ln|x| + C

Passo 4

Aplico tanh em ambos os lados para isolar v:
v = tanhl(ln|x| + Cr)
Se escrever C = ln A, então usando identidade hiperbólica obtém-se a forma racional
v(x) = A,x^2 - 1A,x^2 + 1,
onde A>0 é constante de integração.

Resposta

v(x) = tanhl(ln|x| + Cr)
ou, equivalentemente,
v(x) = A,x^2 - 1A,x^2 + 1,
com C (ou A) constante arbitrária.

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