Teste as seguintes EDOs para exatidão e encontre a solução geral para aquelas que forem exatas:
3 x^2 y d x+(x^3+y^3) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
3 x^2 y ,dx + l(x^3+y^3r),dy = 0
e pede para testar exatidão e, se exata, encontrar a solução geral. Aqui o conteúdo é de EDO exata: vamos identificar
M(x,y)=3x^2y e N(x,y)=x^3+y^3, testar se partial M/partial y=partial N/partial x e, em seguida, achar uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(3x^2yr) =3x^2, partial Npartial x = partialpartial xl(x^3+y^3r) =3x^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar phi, integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integral 3x^2y,dx = x^3y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
partial phipartial y = x^3 + h'(y) = x^3 + y^3 Rightarrow h'(y)=y^3 Rightarrow h(y)=y^44
Logo a função potencial é
phi(x,y)=x^3y+y^44

Resposta

x^3y+y^44=C

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