Encontre a solução geral de:
y^prime prime+4 y^prime+13 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 13y = 0
Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar as raízes e, a partir delas, construir a solução.

Passo 2

Associamos à equação diferencial o polinômio característico
r^2 + 4r + 13 = 0

Passo 3

Resolvemos esse polinômio pela fórmula de Bhaskara:
r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot132cdot1 = -4 pm raiz16 - 522 = -4 pm raiz-362 = -4 pm 6,i2 = -2 pm 3,i

Passo 4

Como as raízes são complexas na forma alpha pm beta i com alpha = -2 e beta = 3, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta, obtemos
y(x) = e^-2xl(C1cos(3x) + C2sin(3x)r)

Resposta

y(x) = e^-2xl(C1cos(3x) + C2sin(3x)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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