Exercício 4 (2,5).
Calcule o limite:
lim x +infty x tan (1x^2)

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite
limxto+infty x ,tan!l(1x^2r)
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar o Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Para deixar explícita a forma 0/0, reescrevemos a expressão como quociente:
x ,tan!l(1x^2r) = tan!l(1x^2r)1x

Passo 3

Verificamos as formas ao enviar xto+infty:
tan!l(tfrac1x^2r)longrightarrowtan(0)=0, tfrac1xlongrightarrow0,
logo temos 0/0 e podemos usar L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador em relação a x.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
– Numerador: se u(x)=tfrac1x^2, então ddxtan(u)=sec^2(u),u', com
u'=-2x^3,
logo
ddxtan!l(tfrac1x^2r) =sec^2!l(tfrac1x^2r),l(-tfrac2x^3r)
– Denominador:
ddxl(tfrac1xr) =-tfrac1x^2

Passo 5

Pelo Teorema de L’Hôpital,
limxto+inftytan!l(1x^2r)1x =limxto+infty sec^2!l(1x^2r),l(-tfrac2x^3r) -tfrac1x^2 =limxto+inftysec^2!l(tfrac1x^2r),2x
Como tfrac1x^2to0 implica sec^2(1/x^2)to1, obtemos
limxto+infty1cdot2x=0

Resposta

0

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