Encontre a solução geral
da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ + (x + 2) y^{2} = 0 $. Esse tipo de equação envolve o conteúdo de equações diferenciais separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ x $ e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ isolado:
Isso nos ajuda a preparar para separar as variáveis.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa colocar todas as coisas envolvendo $ y $ de um lado e as de $ x $ do outro:
Aqui, dividimos ambos os lados por $ y^{2} $ para isolar $ dy $ de um lado.
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções cujas derivadas nos dão os lados atuais:
A integração nos ajuda a passar das taxas de variação para as funções originais.
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que representamos como uma única constante $ C $ na solução final.
Passo 6
Igualando as integrais e resolvendo para $ y $:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Finalmente, isolamos $ y $:
Podemos simplificar múltiplos termos, mas essa forma já representa a solução geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.