Encontre a solução geral y=y(x) da equação diferencial abaixo:
y^prime+(x+2) y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ + (x + 2) y^{2} = 0 $. Esse tipo de equação envolve o conteúdo de equações diferenciais separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ x $ e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ isolado:
y'
Isso nos ajuda a preparar para separar as variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa colocar todas as coisas envolvendo $ y $ de um lado e as de $ x $ do outro:
y
Aqui, dividimos ambos os lados por $ y^{2} $ para isolar $ dy $ de um lado.

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções cujas derivadas nos dão os lados atuais:
integral dyy^2 = integral - (x + 2) dx
A integração nos ajuda a passar das taxas de variação para as funções originais.

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
integral dyy^2 = -1y + C1
integral - (x + 2) dx = -12x^2 - 2x + C2
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que representamos como uma única constante $ C $ na solução final.

Passo 6

Igualando as integrais e resolvendo para $ y $:
y
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
-1y = -12x^2 - 2x + C
Finalmente, isolamos $ y $:
1y = 12x^2 + 2x - C
Podemos simplificar múltiplos termos, mas essa forma já representa a solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 112x^2 + 2x + C
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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