Exercício 5.1 - Calcule \iint_{\sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, sabendo que \sigma é a fronteira do conjunto B dado e \vec{n} é a normal apontando para fora de B, em que B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\(e0 \leq z \leq 1}\right) e\vec{F}=x^{3} \vec{i}+y^{3} \vec{j}+z^{3} \vec{k}$.

Passo 1

O enunciado pede calcular o fluxo
\iint_{\sigma}\vec F\cdot\vec n\,dS
onde \sigma é a fronteira do cubo
B=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid 0\le x,y,z\le1\}
e \vec F=(x^3,y^3,z^3). O conteúdo é fluxo de campo vetorial e vamos usar o Teorema da Divergência, que converte o fluxo na integral tripla do divergente de \vec F.

Passo 2

Calcular o divergente de \vec F:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x^3) +\frac{\partial}{\partial y}(y^3) +\frac{\partial}{\partial z}(z^3) =3x^2+3y^2+3z^2.

Passo 3

Aplicando o Teorema da Divergência:
\iint_{\sigma}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{B}(\nabla\cdot\vec F)\,dV =\iiint_{B}(3x^2+3y^2+3z^2)\,dV.

Passo 4

Fatoramos o 3:
\iiint_{B}(3x^2+3y^2+3z^2)\,dV =3\iiint_{B}(x^2+y^2+z^2)\,dx\,dy\,dz.

Passo 5

Como B é o cubo unitário, as integrais se separam:
\iiint_{B}x^2\,dV =\int_{0}^{1}x^2\,dx\;\int_{0}^{1}dy\;\int_{0}^{1}dz =\frac{1}{3}\cdot1\cdot1 =\frac{1}{3}.
O mesmo ocorre para y^2 e z^2, logo
\iiint_{B}(x^2+y^2+z^2)\,dV =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1.

Passo 6

Portanto o fluxo é
3\times1=3.

Resposta

3

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