Resolva utilizando substituição trigonométrica
integral x^2 raiz4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2raiz4 - x^2;dx
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição típica para raízes do tipo raiza^2-x^2, isto é
x = 2sintheta,
de modo a tornar a raiz e o dx em funções de theta.

Passo 2

Fazendo x = 2sintheta temos
raiz4 - x^2 = raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta,
e
dx = 2costheta,dtheta
Substituindo na integral original:
integral x^2raiz4 - x^2;dx = integral l(2sinthetar)^2,l(2costhetar),l(2costheta,dthetar)

Passo 3

Simplificando o integrando em termos de theta:
(2sintheta)^2 = 4sin^2theta, 2costhetacdot 2costheta = 4cos^2theta,
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integral 4sin^2theta ,cdot 4cos^2theta,dtheta = integral 16,sin^2theta,cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de ângulo duplo
sin^2theta,cos^2theta = 14sin^2(2theta),
então
16sin^2thetacos^2theta = 16cdot14sin^2(2theta) = 4,sin^2(2theta)
A integral fica
integral 4,sin^2(2theta),dtheta = 4integral sin^2(2theta),dtheta
Para sin^2(2theta) usamos
sin^2(2theta) = 1 - cos(4theta)2,
então
4integral sin^2(2theta),dtheta = 4integral 1 - cos(4theta)2,dtheta = 2integrall(1 - cos(4theta)r),dtheta

Passo 5

Integramos termo a termo:
2integral 1,dtheta = 2theta, 2integral (-cos(4theta)),dtheta = -2cdotsin(4theta)4 = -12sin(4theta)
Logo, em theta,
integral x^2raiz4 - x^2,dx = 2theta - tfrac12sin(4theta) + C

Passo 6

Resta voltar para x. Da substituição x=2sintheta obtemos
theta = arcsin!l(tfracx2r), 2theta = 2arcsin!l(tfracx2r)
Para sin(4theta) usamos sin(4theta)=2sin(2theta)cos(2theta) e
sin(2theta)=2sinthetacostheta = 2cdottfracx2cdottfracraiz4-x^22 = xraiz4-x^22,
cos(2theta)=1-2sin^2theta =1-2l(tfracx2r)^2 =1-tfracx^22 =2 - x^22
Logo
sin(4theta) =2cdotxraiz4-x^22cdot2-x^22 =xraiz4-x^2,(2 - x^2)2
Substituindo em
2theta - tfrac12sin(4theta) =2arcsin!l(tfracx2r) - tfrac12cdotxraiz4-x^2,(2 - x^2)2,
obtemos finalmente
2arcsin!l(tfracx2r) - x(2 - x^2)raiz4-x^24 + C
Podemos reescrever -(2 - x^2)=x^2-2 para ficar um pouco mais “bonito”:
(x^3-2x),raiz4-x^24 +2arcsin!l(tfracx2r) + C

Resposta

integral x^2raiz4 - x^2,dx = (x^3-2x),raiz4-x^24 +2arcsin!l(tfracx2r) + C

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