Encontre uma solução particular de
y^prime prime+y^prime-2 y=2-18 x e^-2 x

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
y'' + y' - 2y = 2 ;-; 18x e^-2x
O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados para EDO linear de coeficientes constantes. Como o termo de forçamento é soma de uma constante e de x e^-2x, vamos buscar a solução particular como soma de duas partes:
yp = yp1 + yp2,
onde yp1 trata o termo constante e yp2 trata o termo proporcional a x e^-2x.

Passo 2

Para o termo constante 2, proponho
yp1 = A,
com A constante. Então
yp1' = 0, yp1'' = 0,
e ao substituir na equação
0 + 0 - 2A = 2 Longrightarrow -2A = 2 Longrightarrow A = -1
Logo
yp1 = -1

Passo 3

Para o termo -18x e^-2x, notamos que e^-2x é solução da homogênea (raiz r=-2 da característica). Assim multiplicamos por x. Proponho
yp2 = l(Ax^2 + Bxr),e^-2x
Defina u(x)=Ax^2+Bx, então
yp2 = u(x)e^-2x, yp2' = (u'-2u)e^-2x, yp2'' = (u'' -4u' +4u)e^-2x
Substituindo em y''+y'-2y obtém-se
yp2'' + yp2' -2yp2 = l(u'' -4u' +4u + u' -2u -2ur)e^-2x = l(u'' -3u'r)e^-2x
Queremos isso igual a -18x e^-2x, ou seja
u'' -3u' = -18x

Passo 4

Como u(x)=Ax^2+Bx, temos
u' = 2Ax + B, u'' = 2A,
logo
u'' -3u' = 2A -3(2Ax + B) = -6A,x + (2A -3B)
Para coincidir com -18x + 0, igualamos coeficientes:
-6A = -18 ;Longrightarrow; A = 3,
2A -3B = 0 ;Longrightarrow; 6 -3B = 0 ;Longrightarrow; B = 2
Portanto
u(x)=3x^2 + 2x Longrightarrow yp2 = (3x^2 +2x)e^-2x

Passo 5

Somando as duas partes, a solução particular geral é
yp(x) = yp1 + yp2 = -1 ;+; (3x^2 +2x)e^-2x

Resposta

yp(x) = -1 + (3x^2 + 2x)e^-2x

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