Seja S a superfície de equação paramétrica r(u, v)=(u^2-v, u cos v, u+v). Determine a equação do plano tangente a S no ponto P0=r(-1,0).
Escolha uma opção:
x+y-1=0
x+y+z=0
x+y+z-1=0
x+y+z+1=0
x+z+1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície parametrizada pela equação r(u, v) = (u^2 - v, u cos v, u + v) e precisa encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto P0 = r(-1, 0). O assunto aqui é cálculo de superfícies parametrizadas e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar achar as derivadas parciais da superfície em relação a u e v, usar essas derivadas para encontrar o vetor normal ao plano tangente e então montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto P0 usando os valores de u e v. Substituindo u = -1 e v = 0 na equação da superfície:
r(-1, 0) = ((-1)^2 - 0, (-1) cos 0, -1 + 0) = (1, -1, -1)
Então, P0 tem coordenadas (1, -1, -1).

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da superfície em relação a u e v.
A derivada parcial em relação a u é:
ru = ( partialpartial u(u^2 - v), partialpartial u(u cos v), partialpartial u(u + v) ) = (2u, cos v, 1)
A derivada parcial em relação a v é:
rv = ( partialpartial v(u^2 - v), partialpartial v(u cos v), partialpartial v(u + v) ) = (-1, -u sin v, 1)

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar essas derivadas no ponto u = -1 e v = 0:
Para ru:
ru(-1, 0) = (2(-1), cos 0, 1) = (-2, 1, 1)
Para rv:
rv(-1, 0) = (-1, -(-1) sin 0, 1) = (-1, 0, 1)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano tangente. Para isso, calculamos o produto vetorial das derivadas parciais ru e rv:
n = ru times rv = i & j & k -2 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - 1 cdot 0) - j(-2 cdot 1 - 1 cdot (-1)) + k(-2 cdot 0 - 1 cdot (-1))
= i(1) - j(-2 + 1) + k(0 + 1) = (1, 1, 1)
Então, o vetor normal ao plano tangente é n = (1, 1, 1).

Passo 6

Com o vetor normal n = (1, 1, 1) e o ponto P0 = (1, -1, -1), podemos usar a fórmula do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto.
Substituindo:
1(x - 1) + 1(y + 1) + 1(z + 1) = 0
x - 1 + y + 1 + z + 1 = 0
x + y + z + 1 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é x + y + z + 1 = 0.

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