Seja a superfície de equação paramétrica . Determine a equação do plano tangente a no ponto .
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície parametrizada pela equação e precisa encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto . O assunto aqui é cálculo de superfícies parametrizadas e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar achar as derivadas parciais da superfície em relação a e , usar essas derivadas para encontrar o vetor normal ao plano tangente e então montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto usando os valores de e . Substituindo e na equação da superfície:
Então, tem coordenadas .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da superfície em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Passo 4
Em seguida, vamos avaliar essas derivadas no ponto e :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano tangente. Para isso, calculamos o produto vetorial das derivadas parciais e :
= i(1) - j(-2 + 1) + k(0 + 1) = (1, 1, 1)
Então, o vetor normal ao plano tangente é n = (1, 1, 1).
Passo 6
Com o vetor normal n = (1, 1, 1) e o ponto P0 = (1, -1, -1), podemos usar a fórmula do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto.